【正文】 目標(biāo)規(guī)劃方法與 優(yōu)化問題的 Matlab求解 內(nèi)容提要 線性規(guī)劃與目標(biāo)規(guī)劃 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 目標(biāo)規(guī)劃模型的實(shí)例 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 線性規(guī)劃與目標(biāo)規(guī)劃 線性規(guī)劃通?？紤]一個(gè)目標(biāo)函數(shù) (問題簡單 ) 目標(biāo)規(guī)劃考慮多個(gè)目標(biāo)函數(shù) (問題復(fù)雜 ) 線性規(guī)劃 目標(biāo)規(guī)劃 發(fā)展 演變 甲 乙 設(shè)備的生產(chǎn)能力 /h A /( h/ 件 ) 2 2 12 B /( h/ 件 ) 4 0 16 C /( h/ 件 ) 0 5 15 贏利 /( 元 / 件 ) 2 0 0 3 0 0 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到 A,B,C三種設(shè)備，關(guān)于產(chǎn)品的盈利與使用設(shè)備的工時(shí)及限制如下表所示。 例 生產(chǎn)安排問題 問該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使得在計(jì)劃期內(nèi)總利潤最大？ 1. 線性規(guī)劃建模 該例 ，直接考慮它的線性規(guī)劃模型 設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x1, x2,建立線性規(guī)劃模型： 。300200 21 xxzMax ?? ,1222.. 21 ?? xxts.0,155,1642121???xxx用 Lindo或 Lingo軟件求解 ,得到最優(yōu)解 .1500,3,3*21 ??? zxx 2. 目標(biāo)規(guī)劃建模 在上例 ，企業(yè)的經(jīng)營目標(biāo)不僅要考慮利潤，還需要考慮多個(gè)方面，因此增加下列因素 (目標(biāo) )： ? 力求使利潤指標(biāo)不低于 1500元 ? 考慮到市場需求 ,甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應(yīng)盡量保持 1:2 ? 設(shè)備 A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用 ? 設(shè)備 C可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備 B既要求充分利用，又盡可能不加班，在重要性上，設(shè)備 B是設(shè)備 C的 3倍 從上述問題可以看出，僅用線性規(guī)劃方法是不夠的，需要借助于目標(biāo)規(guī)劃的方法進(jìn)行建模求解 HI M L I P HI W 費(fèi)用 ( 萬元 / 分 ) 足球賽中插播 ( 萬人 / 分 ) 7 10 5 10 系列劇 中插播 ( 萬人 / 分 ) 3 5 4 6 某汽車銷售公司委托一個(gè)廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公司提出三個(gè)目標(biāo)： 例 汽車廣告費(fèi)問題 廣告公司必須決定購買兩種類型的電視廣告展播各多少分鐘？ 第一個(gè)目標(biāo)，至少有 40萬高收入的男性公民 (記為 HIM)看到這個(gè)廣告 第二個(gè)目標(biāo)，至少有 60萬一般收入的公民 (記為 LIP)看到這個(gè)廣告 第三個(gè)目標(biāo)，至少有 35萬高收入的女性公民 (記為 HIW)看到這個(gè)廣告 廣告公司可以從電視臺(tái)購買兩種類型的廣告展播：足球賽中插播廣告和電視系列劇插播廣告。廣告公司最多花費(fèi) 60萬元的電視廣告費(fèi)。每一類廣告展播每一分鐘的花費(fèi)及潛在的觀眾人數(shù)如下表所示 對于例 設(shè) x1, x2分別是足球賽和電視系列劇中插播的分鐘數(shù)，按照要求，可以列出相應(yīng)的線性規(guī)劃模型 。00 21 xxMin ? ,60610.. 21 ?? xxts .0,3545,60510,403721212121???????xxxxxxxx用 Lindo或 Lingo軟件求解 ,會(huì)發(fā)現(xiàn)該問題不可行。 （可以任意目標(biāo)） 4. 線性規(guī)劃建模局限性 ? 線性規(guī)劃要求所有求解的問題必須滿足全部的約束，而實(shí)際問題中并非所有約束都需要嚴(yán)格的滿足； ? 線性規(guī)劃只能處理單目標(biāo)的優(yōu)化問題，而對一些次目標(biāo)只能轉(zhuǎn)化為約束處理。但在實(shí)際問題中，目標(biāo)和約束好似可以相互轉(zhuǎn)化的，處理時(shí)不一定要嚴(yán)格區(qū)分； ? 線性規(guī)劃在處理問題時(shí)，將各個(gè)約束 (也可看作目標(biāo) )的地位看成同等重要，而在實(shí)際問題中，各個(gè)目標(biāo)的重要性即有層次上的差別，也有在同一層次上不同權(quán)重的差別 ? 線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，而許多實(shí)際問題只需要找到滿意解就可以了。 8. 2 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 為了克服線性規(guī)劃的局限性 ,目標(biāo)規(guī)劃采用如下手段： 1. 設(shè)置偏差變量 。 2. 統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束 。 3. 目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù)。 目標(biāo)規(guī)劃的基本概念 1. 設(shè)置偏差變量 用偏差變量 (Deviational variables)來表示實(shí)際值與目標(biāo)值 之間的差異，令 超出目標(biāo)的差值，稱為 正偏差變量 未達(dá)到目標(biāo)的差值，稱為 負(fù)偏差變量 其中 與 至少有一個(gè)為 0 約定如下： ?當(dāng)實(shí)際值超過目標(biāo)值時(shí)，有 ?當(dāng)實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值時(shí)，有 ?當(dāng)實(shí)際值與目標(biāo)值一致時(shí)，有 ?d ?d?d ?d? 。0,0 ?? ?? dd 。, ??.0,0 ?? ?? dd 2. 統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束 在目標(biāo)規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴(yán)格限制 的，稱為剛性約束 (Hard Constraint)；例如在用目標(biāo)規(guī)劃 求解例 A禁止超時(shí)使用，則有剛性約束 另一類是可以不嚴(yán)格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標(biāo) ,構(gòu) 成柔性約束 (Soft Constraint).例如在求解例 ，我們 希望利潤不低于 1500元，則目標(biāo)可表示為 .1222 21 ?? xx????????? ???.1500300200}。min {21 ddxxd求解例 、乙兩種產(chǎn)品 的產(chǎn)量盡量保持 1:2的比例， 則目標(biāo)可表示為 設(shè)備 C可以適當(dāng)加班，但要控制， 則目標(biāo)可表示為 ??????????????.02}。min {21 ddxxdd???????? ???.155}。min{2 ddxd設(shè)備 B既要求充分利用，又盡可能 不加班，則目標(biāo)可表示為 ??? ????????.164}。min {1 ddxdd從上面的分析可以看到： ?如果希望不等式保持大于等于，則極小化負(fù)偏差； ?如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差； ?如果希望保持等式，則同時(shí)極小化正、負(fù)偏差． 在目標(biāo)規(guī)劃模型中，目標(biāo)的優(yōu)先分為兩個(gè)層次，第一個(gè)層次是目標(biāo)分成不同的優(yōu)先級(jí)，在計(jì)算目標(biāo)規(guī)劃時(shí)，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)。通常以 P1,P2,...表示不同的因子 ,并規(guī)定 PkPk+1，第二個(gè)層次是目標(biāo)處于同一優(yōu)先級(jí)，但兩個(gè)目標(biāo)的權(quán)重不一樣，因此兩目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化，用權(quán)系數(shù)的大小來表示目標(biāo)重要性的差別。 解 在例８ .1中 設(shè)備 A是 剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重要的指標(biāo)是企業(yè)的利潤，將它的優(yōu)先級(jí)列為第一級(jí)；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持 1:2的比例，列為第二級(jí)；再次， 設(shè)備 B和 C的工作時(shí)間要有所控制，列為第三級(jí)，設(shè)備 B的重要性是設(shè)備 C的三倍，因此它們的權(quán)重不一樣。由此可以得到相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型。 目標(biāo)規(guī)劃模型的建立 例 用目標(biāo)規(guī)劃方法求解例 8. 1 )。433()(min 43332221 ?????? ?????? dddPddPdPz ,1222.. 21 ?? xxts .4,3,2,1,0,155,164,02,15003002002144233122211121??????????????????????????iddxxddxddxddxxddxxii 目標(biāo)規(guī)劃的一般模型 目標(biāo)規(guī)劃模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 。)(min11??????????ljjkjjkjqkk dwdwPz ,2,1,),(..1mibxats ijnjij ??????? ,2,1,0,2,1,0,2,1,1liddnjxligddxciijiiijnjij????????????????? 求解目標(biāo)規(guī)劃的序貫式算法 其算法是根據(jù)優(yōu)先級(jí)的先后次序，將目標(biāo)規(guī)劃問題分解成 一系列的單目標(biāo)規(guī)劃問題，然后再依次求解。 算法 對于 k=1,2,…,q, 求解單目標(biāo)問題 。)(min1?????? ??ljjkjjkj dwdwz ,2,1,),(..1mibxats ijnjij ??????? ,2,1,0,2,1,0,1,2,1,)(,2,1,*11liddnjxkszdwdwligddxciijljjsjjsjiiijnjij????????????????????????????解 因?yàn)槊總€(gè)單目標(biāo)問題都是一個(gè)線性規(guī)劃問題， 因此可以采用 LINDO軟件進(jìn)行求解。按照算法 例 。 求第一級(jí)目標(biāo)企業(yè)利潤最大，列出 LINDO程序。 程序名： 例 用算法 8. 3 MIN DMINUS1 SUBJECT TO 2X1 + 2X2 = 12 200X1 + 300X2 DPLUS1 + DMINUS1 = 1500 2X1 X2 DPLUS2 + DMINUS2 = 0 4X1 DPLUS3 + DMINUS3 = 16 5X2 DPLUS4 + DMINUS4 = 15 END 求解結(jié)果可見 程序演示 目標(biāo) 解 因求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級(jí)偏差為 ０ .再 求第二級(jí)目標(biāo)，列出其 LINDO程序。 程序名： 例 用算法 8. 3