目標規(guī)劃數(shù)學模型講義(已修改)
2025-03-15 15:52 本頁面
【正文】 運 籌 學 Operations Research Chapter 4 目標規(guī)劃 Goal Programming 運籌學 Operations Research 目標規(guī)劃數(shù)學模型 Mathematical Model of GP 目標規(guī)劃的圖解法 The graphical method of GP 單純形法 Simplex Method 目標規(guī)劃數(shù)學模型 Mathematical Model of GP 線性規(guī)劃模型的特征是在滿足一組約束條件下，尋求一個目標的最優(yōu)解（最大值或最小值）。 而在現(xiàn)實生活中最優(yōu)只是相對的，或者說沒有絕對意義下的最優(yōu)，只有相對意義下的滿意。 1978年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者 .西蒙 ( 梅隆大學 ,1916)教授提出“滿意行為模型要比最大化行為模型豐富得多”，否定了企業(yè)的決策者是“ 經(jīng)濟人 ”概念和“ 最大化 ”行為準則，提出了“ 管理人 ”的概念和“ 令人滿意 ”的行為準則，對現(xiàn)代企業(yè)管理的決策科學進行了開創(chuàng)性的研究 Mathematical Model of GP 【 例 】 考慮例 ．資源消耗如表 41所示。 x x x3分別為甲、乙、丙的產(chǎn)量。 使企業(yè)在計劃期內(nèi)總利潤最大的線性規(guī)劃模型為： 產(chǎn)品 資源 甲 乙 丙 現(xiàn)有資源 設備 A 3 1 2 200 設備 B 2 2 4 200 材料 C 4 5 1 360 材料 D 2 3 5 300 利潤（元 /件） 40 30 50 表 41 引例 Mathematical Model of GP 321 503040max xxxZ ???????????????????????????0003005323605420232220233321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，最優(yōu)解 X＝（ 50， 30， 10）， Z＝ 3400 Mathematical Model of GP 現(xiàn)在決策者根據(jù)企業(yè)的實際情況和市場需求，需要重新制定經(jīng)營目標，其目標的優(yōu)先順序是： （ 1）利潤不少于 3200元 （ 2）產(chǎn)品甲與產(chǎn)品乙的產(chǎn)量比例盡量不超過 （ 3）提高產(chǎn)品丙的產(chǎn)量使之達到 30件 （ 4）設備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班 （ 5）受到資金的限制，只能使用現(xiàn)有材料不能再購進 【 解 】 設甲、乙、丙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x x x3。如果按線性規(guī)劃建模思路，最優(yōu)解實質是求下列一組不等式的解 Mathematical Model of GP ?????????????????????????????????0003005323605420232220233303202303040321321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，－通過計算不等式無解，即使設備加班 10小時仍然無解．在實際生產(chǎn)過程中生產(chǎn)方案總是存在的，無解只能說明在現(xiàn)有資源條件下，不可能完全滿足所有經(jīng)營目標． 這種情形是按事先制定的目標順序逐項檢查，盡可能使得結果達到預定目標，即使不能達到目標也使得離目標的差距最小，這就是目標規(guī)劃的求解思路，對應的解稱為滿意解．下面建立例 ． Mathematical Model of GP 設 d－ 為未達到目標值的差值，稱為負偏差變量（ negative deviation variable） d+為超過目標值的差值，稱為正偏差變量 （ positive deviation variable） , d－ ≥0、 d＋ ≥0． 設 d1未達到利潤目標的差值 , d1+ 為超過目標的差值 當利潤小于 3200時 ,d1－ ＞０且 d1＋ ＝ 0,有 40x1+30x2+50x3+d1－ =3200成立 當利潤大于 3200時， d1＋ ＞０且 d1－ ＝０，有 40x1+30x2+50x3d1+=3200成立 當利潤恰好等于 3200時， d1－ =０且 d1+=0,有 40x1+30x2+50x3=3200成立 實際利潤只有上述三種情形之一發(fā)生，因而可以將三個等式寫成一個等式 40x1+30x2+50x3+d1－ － d1+=3200 Mathematical Model of GP ?????????? ???3202303040min113211ddxxxd（ 2）設 分別為未達到和超過產(chǎn)品比例要求的偏差變量 ,則產(chǎn)量比例盡 量不超過 ： ?? 22 dd 、????????? ???min22212ddxxd （ 3）設 d3ˉ、 d３ ＋ 分別為品丙的產(chǎn)量未達到和超過 30件的偏差變量，則產(chǎn)量丙的產(chǎn)量盡可能達到 30件的數(shù)學表達式為： ??????? ??30min3333ddxd利潤不少于 3200理解為達到或超過 3200，即使不能達到也要盡可能接近 3200,可以表達成目標函數(shù)｛ d1－ ｝取最小值，則有 Mathematical Model of GP （ 4） 設 d4ˉ 、 d4+為設備 A的使用時間偏差變量 , d5ˉ、 d5+為設備B的使用時間偏差變量，最好不加班的含義是 d4+ 和 d5+同時取最小值，等價 于 d4+ + d5+取最小值，則設備的目標函數(shù)和約束為： ??????????????????????20232220233min553214432154ddxxxddxxxdd（ 5）材料不能購進表示不允許有正偏差，約束條件為小于等于約束． 由于目標是有序的并且四個目標函數(shù)非負，因此目標函數(shù)可以表達成一個函數(shù)： Mathematical Model of GP )(min 544332211 ????? ????? ddPdPdPdPz式中： Pj（ j=1,2,3,4）稱為目標的優(yōu)先因子，第一目標優(yōu)于第二目標，第二目標優(yōu)于第三目標等等，其含義是按 P P … 的次序分別求后面函數(shù)的最小值 .則問題的目標規(guī)劃數(shù)學模型為： ???????????????????????????????????????????????????????????????????5,2,1,0,0,0,03005323605420232220233303202303040)(min3213213215532144321333222111321544332211?jddxxxxxxxxxddxxxddxxxddxddxxddxxxddPdPdPdPzjj、且為整數(shù)－
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