【正文】 第 八 章 多目標決策技術 預測與決策技術 主 講 教 師 李 時 前面幾章，我們討論的是單目標決策問題。然而現(xiàn)實世界中的決策問題，決策者考慮的目標往往不只一個。如企業(yè)的投資項目決策，既要考慮生產生命周期、市場需求、創(chuàng)匯能力、凈收益、產品成本等經(jīng)濟指標，又要考慮保護生態(tài)環(huán)境、促進就業(yè)等社會指標。象這種在決策時要考慮多項目標的決策問題就是多目標決策問題。 多目標決策問題有兩個明顯的基本特點 ： 1． 目標之間的不可公度性 。 即各個目標之間沒有一個統(tǒng)一的度量標準 ， 因而難以直接進行比較 。 例如投資項目決策問題中 ，項目凈收益用萬元計 ， 而投資回收期卻以年 （ 或月 ） 計 。 2． 目標之間的矛盾性 。 即某一目標的改善往往會使其他目標變壞 。 例如項目投資增加 ， 會使利潤增加 ， 但可能會使投資回收期變長 ， 以及環(huán)境污染加重 。 由于上述特點就使得多目標決策比單目標決策要困難和復雜得多 。 要尋找使各個目標都達到最優(yōu)的所謂絕對最優(yōu)方案 （ 或稱絕對最優(yōu)解 ） ， 往往是不現(xiàn)實的 。 通常的作用法就是在各個目標之間 ， 在各種限制條件下尋找一種合理的妥協(xié) 。 即在非絕對最優(yōu)方案 ， 通常稱為非劣方案 （ 非劣解 ） 或稱有效方案 （ 有效解 ） 中選擇一個比較滿意的方案 。 按照不同的評價準則 ， 從不同的角度去選擇非劣方案便構成了不同的多目標決策方法 。 多目標決策方法很多 ， 我們只介紹其中比較成熟的兩種方法 。 167。 1 層次分析法 層次分析法簡稱 AHP法 （ Analytic Hierarchy Process） ， 它是美國著名運籌學家薩蒂 （ Saatty） 教授在 20世紀 70年代提出的一種定性與定量相結合的多目標決策方法 ， 現(xiàn)已被廣泛應用 。 一、層次分析法的基本原理 在多目標決策問題中，針對某些目標，方案的評價結果往往難以定量化、精確化。這就需要把目標進一步分解，利用可精確化、定量化的子目標系統(tǒng)來反映對方案的評價。 層次分析法的基本思想是：把決策問題按總目標、子目標、評價準則直至具體方案的順序分解為若干層次，相鄰層次元素之間存在著特定的邏輯關系。分成有序的層次結構以后，對每一個上層元素，把與之有邏輯關系的下層元素兩兩對比，給出以定量數(shù)字表示的“判斷矩陣”。通過判斷矩陣的最大特征根及其特征向量，求出每一層次的各元素對上一層次各元素的權重系數(shù)。最后利用加權和的方法，由低到高，一層層遞階歸并，求出各方案對總目標的權數(shù)，其中權數(shù)最大者對應的方案即為優(yōu)先方案。 二、層次分析法的基本步驟 第一步：建立層次結構模型。 最高層 ：表示決策問題所要達到的總目標，常稱為目標層或總目標層。 中間層 ：可以包括不止一個層次 。 是為實現(xiàn)總目標而細分的子目標 ， 也可以是為實現(xiàn)總目標或子目標而需要考慮的約束或準則 。 相應的層次常稱為子目標層 、 準則層等 。 最低層 ：一般是解決問題的方案 、 政策或措施等 。 因此 ， 常稱為方案層或措施層 。 第二步：構造判斷矩陣 。 判斷矩陣是定性判斷過度到定量計算的基礎 。 它是針對上一層次某元素而言 ， 本層次有關元素兩兩重要性的比較結果 。 為了說明判斷矩陣的構造原理 ， 我們先從物體的重量對比談起 。 設有 n件 物體 A1， A2， ? ， An， 其重量分別為 ω1， ω2， ? ， ωn，若將它們兩兩比較重量 ， 其比值可構成 n n矩陣 A： ?????????????nnnnnn?????????????????????????212221212111A 矩陣 A具有如下性質： 若用重量向量 W=(ω1， ω2， ? ， ωn)T右乘 A， 可得 AW=nW 這說明 n為矩陣 A的特征根，向量 W是對應于特征根 n的特征向量。 如果記 aij=ω i/ω j， 顯然矩陣 A的元素 aij具有如下三條性質： ⑴ aii=1；⑵ aij=1/aji；⑶ aij=aika kj， i， j=1， 2， ? ， n． 由矩陣理論易知 ， 滿足上述三條性質的矩陣 A的最大特征根 λmax=n,其余特征根為 0。 我們在層次分析法中所用的比較元素之間重要性的判斷矩陣 ，就是用類似于上述比較物體間重量的方法構造的 。 設 B層元素 Bk與下一層元素 A1， A2， ? ， An有關系，對于 Bk而言，Ai與 Aj比較后，其相對重要性記為 aij， 則有判斷矩陣： A=(aij)n n ,也可表示為如下表格形式： 一般來講 ， 元素的重要性很難象物體重量那樣準確衡量 ， 因此 ， aij很難精確給出 ， 一般按下表所給出的標準來確定 。 Bk A1 A2 ? A n A1 A2 ┆ An a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2n ┆ ┆ ┆ an1 an2 ? ann aij取值 含 義 1 Ai與 Aj同樣重要 3 Ai比 Aj稍微重要 5 Ai 比 Aj明顯重要 7 Ai 比 Aj重要得多 9 Ai 比 Aj極端重要 2， 4， 6， 8 介于上述相鄰兩種情況之間 以上各數(shù)的倒數(shù) 兩元素反過來比較 如： ?????????12/15/1213/1531A 第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應的特征向量。 如果判斷矩陣滿足前述三條性質，則稱該判斷矩陣具有完全一致性。此時，便可知其最大特征根 λmax=n所對應的 特征 向量為各元素重要性的權數(shù)。但是由于客觀事物的復雜性和人們認識上的多樣性以及主觀上的片面性和不穩(wěn)定性，用兩兩對比的方法構造出的判斷矩陣，既使有 前 表為參照標準也常常不滿足第三條性質：aij=aika kj， 因而不是完全一致性判斷矩陣。若離完全一致性不遠，則判斷矩陣基本可用，這時最大特征根 λmax ≠ n， 就要設法求出判斷矩陣的最大特征根及其相應的特征向量。 當矩陣 A的階數(shù)較大時 ， 用一般的代數(shù)方法計算相當麻煩 。 下面我們介紹一種簡單的近似算法 —— 方根法 ， 其步驟為： ⑴計算判斷矩陣 A中每行所有元素的幾何平均值： niam n njiji ,2,1,1??? ??⑵對向量 M=(m1, m2,? ， mn)T作歸一化處理， 即令 nimmniiii ,2,1,1?????? 所得向量 W=(ω1， ω2， ? ， ωn)T 即為判斷矩陣 A的最大特征根對應的（歸一化）特征向量的近似值。 ⑶計算判斷矩陣 A的最大特征根： )()(1m ax ??????ni iin ??AW 其中 (AW)i為向量 AW的第 i個元素。 事實上