【正文】 第 2章 無套利定價原理 1 什么是套利？ ? 商業(yè)貿(mào)易中的 ”套利 ”行為 ？ ? 例 1：一個貿(mào)易公司在與生產(chǎn)商甲簽訂一筆買進(jìn) 10噸銅合同的同時 ， 與需求商乙簽訂一筆賣出 10噸銅合同：即貿(mào)易公司與生產(chǎn)商甲約定以 15,000元 /噸的價格從甲那里買進(jìn) 10噸銅 ， 同時與需求商乙約定把這買進(jìn)的 10噸銅以 17,000元 /噸的價格賣給乙 ， 并且交貨時間地點都相同 。 這樣 ， 1噸銅賺取差價 2,000元 /噸 。 這是套利行為嗎？ 2 無風(fēng)險套利的定義 ?在金融理論中，套利指一個能產(chǎn)生 無風(fēng)險盈利 的交易策略。 這種套利是指純粹的無風(fēng)險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生很低風(fēng)險的盈利策略，即可能會承擔(dān)一定的低風(fēng)險。 3 金融市場中的套利行為 ?金融市場的獨特性使得影響套利的條件比實物市場大大地減弱 。 ?（ 1）專業(yè)化交易市場 ?（ 2）電子化、無形化、數(shù)字化 ?（ 3）賣空機(jī)制可能大大增加了套利機(jī)會 ?（ 4）在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷 4 無套利定價原理 ?金融市場上實施套利行為變得非常的方便和快速 。 這種套利的便捷性也使得金融市場的套利機(jī)會的存在總是暫時的 ， 因為一旦有套利機(jī)會 ，投資者就會很快實施套利而使得市場又回到無套利機(jī)會的均衡中 。 ?因此 ， 無套利均衡被用于對金融產(chǎn)品進(jìn)行定價 。金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在無風(fēng)險套利機(jī)會 ， 這就是 “ 無風(fēng)險套利定價 ” 原理或者簡稱為 “ 無套利定價 ” 原理 。 ?什么情況下市場不存在套利機(jī)會呢 ？ 5 無風(fēng)險套利機(jī)會存在的等價條件 ?（ 1） 存在兩個不同的資產(chǎn)組合 ， 它們的未來損益 （ payoff） 相同 ， 但它們的成本卻不同；在這里 ， 可以簡單把損益理解成是現(xiàn)金流 。 如果現(xiàn)金流是確定的 ，則相同的損益指相同的現(xiàn)金流 。 如果現(xiàn)金流是不確定的 ， 即未來存在多種可能性 （ 或者說存在多種狀態(tài) ） ， 則相同的損益指在相同狀態(tài)下現(xiàn)金流是一樣的 。 6 ?（ 2） 存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合 ， 但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合 ， 而且至少存在一種狀態(tài) ， 在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的損益 。 ?（ 3） 一個組合其構(gòu)建的成本為零 ， 但在所有可能狀態(tài)下 ， 這個組合的損益都不小于零 ， 而且至少存在一種狀態(tài) ， 在此狀態(tài)下這個組合的損益要大于零 。 7 無套利機(jī)會的等價性推論 ?（ 1） 同損益同價格：如果兩種證券具有相同的損益 ， 則這兩種證券具有相同的價格 。 ?（ 2） 靜態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券 ， 那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格 。 這個資產(chǎn)組合稱為證券的 “ 復(fù)制組合 ”（ replicating portfolio） 。 8 ?（ 3） 動態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個自融資 （ selffinancing） 交易策略最后具有和一個證券相同的損益 ， 那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本 。這稱為動態(tài)套期保值策略 （ dynamic hedging strategy） 。 所謂自融資交易策略簡單地說 ， 就是交易策略所產(chǎn)生的資產(chǎn)組合的價值變化完全是由于交易的盈虧引起的 ， 而不是另外增加現(xiàn)金投入或現(xiàn)金取出 。 一個簡單的例子就是購買并持有 (buy and hold)策略 。 9 確定狀態(tài)下無套利定價原理的應(yīng)用 ? 同損益同價格 （ 例 2） ?假設(shè)兩個零息票債券 A和 B， 兩者都是在 1年后的同一天到期 ， 其面值為 100元 （ 到期時都獲得100元現(xiàn)金流 ， 即到期時具有相同的損益 ） 。 如果債券 A的當(dāng)前價格為 98元 ， 并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況 。 ?問題 :（ 1） 債券 B的當(dāng)前價格應(yīng)該為多少呢 ？ ? （ 2） 如果債券 B的當(dāng)前價格只有 ，問是否存在套利機(jī)會 ？ 如果有 ， 如何套利 ？ 10 ?（ 1） 按照無套利定價原理 ， 債券 B與債券 A具有一樣的損益 （ 現(xiàn)金流 ） ， 所以債券 B的合理價格也應(yīng)該為 98元 。 ?（ 2） 當(dāng)債券 B的價格為 ， 說明債券 B的價值被市場低估了 。 那么債券 B與債券 A之間存在套利機(jī)會 。 ?實現(xiàn)套利的方法很簡單 ， 買進(jìn)價值低估的資產(chǎn) 債券 B， 賣出價值高估的資產(chǎn) 債券 A。 所以 ， 套利的策略就是：賣空債券 A， 獲得 98元 ， 用其中的 B， 這樣套利的盈利為 。因為 ， 在 1年后到期日 ， 債券 B的面值剛好用于支付賣空債券 A的面值 。 11 靜態(tài)組合復(fù)制定價（例子 3） ?假設(shè) 3種零息票的債券面值都為 100元 ， 它們的當(dāng)前市場價格分別為： ?1年后到期的零息票債券的當(dāng)前價格為 98元； ?2年后到期的零息票債券的當(dāng)前價格為 96元； ?3年后到期的零息票債券的當(dāng)前價格為 93元； ?假設(shè)不考慮交易成本和違約 。 12 ?問題： ?（ 1） 如果息票率為 10％ ， 1年支付 1次利息的三年后到期的債券 A的當(dāng)前價格應(yīng)該為多少 ？ ?（ 2） 如果息票率為 10％ ， 1年支付 1次利息的三年后到期的債券 A的當(dāng)前價格為 120元 ， 問是否存在套利機(jī)會 ？ 如果有 ， 如何套利 ？ 13 ?對于第一個問題 ， 我們只要按照無套利定價原理的推論 （ 2） ， 去構(gòu)造一個 “ 復(fù)制組合 ” 就可以了 。 先看一個息票率為10％ ， 1年支付 1次利息的三年后到期的債券的損益情況 。 面值為 100元 ， 息票率為 10％ ， 所以在第 1年末 、 第 2年末和第 3年末的利息為 100 10％ ＝ 10元 ， 在第 3年末另外還支付本金面值 100元 。 如圖所示： 1年末 2年末 3年末 10 10 110 14 ? 構(gòu)造相同損益的復(fù)制組合為： ? （ 1） 購買 1年后到期的零息票債券 ， 其損益剛好為 100 ＝ 10元； ? （ 2） 購買 2年后到期的零息票債券 ， 其損益剛好為 100 ＝ 10元； ? （ 3） 購買 3年后到期的零息票債券 ， 其損益剛好為 100 ＝ 110元； ? 所以上面的復(fù)制組合的損益就與圖所示的損益一樣 ，因此根據(jù)無套利定價原理的推論 （ 2） ， 具有相同損益情況下證券的價格就是復(fù)制組合的價格 ， 所以息票率為 10％ ， 1年支付 1次利息的三年后到期的債券的當(dāng)前價格應(yīng)該為： ? 98＋ 96＋ 93＝ 15 ? 對于第二個問題 ， 其原理與 例子 2類似 ， 債券 A的當(dāng)前價格為 120元 ， 小于應(yīng)該價格 ， 因此根據(jù)無套利定價原理 ， 存在套利機(jī)會 。 當(dāng)前市場價格為 120元 ， 而無套利定價的價格為 ， 所以市場低估了這個債券的價值 ，則應(yīng)該買進(jìn)這個債券 ， 然后賣空復(fù)制組合 。 即基本的套利策略為： ? （ 1） 買進(jìn) 1張息票率為 10％ ， 1年支付 1次利息的三年后到期的債券 A； ? （ 2） 賣空 1年后到期的零息票債券； ? （ 3） 賣空 2年后到期的零息票債券； ? （ 4） 賣空 3年后到期的零息票債券； 16 動態(tài)組合復(fù)制定價（例 4） ?假設(shè)從現(xiàn)在開始 1年后到期的零息票債券的價格為 98元 。 從 1年后開始 ， 在 2年后到期的零息票債券的價格也為 98元 。 并且假設(shè)不考慮交易成本和違約情況 。 ?問題： （ 1） 從現(xiàn)在開始 2年后到期的零息票債券的價格為多少呢 ？ ? （ 2） 如果現(xiàn)在開始 2年后到期的零息票債券價格為 97元 ， 問是否存在套利機(jī)會 ？ 如果有 ， 如何套利 ？ 17 ?與 例 3不同的是 ， 在這個例子中我們不能簡單地在當(dāng)前時刻就構(gòu)造好一個復(fù)制組合 ， 而必須進(jìn)行動態(tài)地交易來構(gòu)造復(fù)制組合 。 我們要運用無套利定價原理的第三個推論 。 現(xiàn)在看一下如何進(jìn)行動態(tài)地構(gòu)造套利組合呢 ？