【正文】 1第九章第九章 向量自回歸和誤差修正模型向量自回歸和誤差修正模型 傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量方法是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)來描述變量關(guān)系的模型。但是，經(jīng)濟(jì)理論通常并不足以對(duì)變量之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系提供一個(gè)嚴(yán)密的說明，而且內(nèi)生變量既可以出現(xiàn)在方程的左端又可以出現(xiàn)在方程的右端使得估計(jì)和推斷變得更加復(fù)雜。為了解決這些問題而出現(xiàn)了一種用非結(jié)構(gòu)性方法來建立各個(gè)變量之間關(guān)系的模型。本章所要介紹的向量自回歸模型 (vector autoregression， VAR)和向量誤差修正模型(vector error correction model， VEC)就是非結(jié)構(gòu)化的多方程模型。 2 向量自回歸 (VAR)是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立模型， VAR模型把系統(tǒng)中每一個(gè)內(nèi)生變量作為系統(tǒng)中所有模型把系統(tǒng)中每一個(gè)內(nèi)生變量作為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來構(gòu)造模型，從而將單變量自內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來構(gòu)造模型，從而將單變量自回歸模型推廣到由多元時(shí)間序列變量組成的回歸模型推廣到由多元時(shí)間序列變量組成的 “向量向量 ”自回自回歸模型。歸模型。 VAR模型是處理多個(gè)相關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的分析與預(yù)測(cè)最容易操作的模型之一，并且在一定的條件下，多元 MA和 ARMA模型也可轉(zhuǎn)化成 VAR模型，因此近年來VAR模型受到越來越多的經(jīng)濟(jì)工作者的重視。167。167。 向量自回歸理論向量自回歸理論 3 VAR(p) 模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 ()其中： yt是 k 維內(nèi)生變量列向量， xt 是 d 維外生變量列向量， p是滯后階數(shù)， T是樣本個(gè)數(shù)。 k?k 維矩陣 ?1， … ， ?p 和 k?d 維矩陣 H 是待估計(jì)的系數(shù)矩陣。 ?t 是 k 維擾動(dòng)列向量，它們相互之間可以同期相關(guān)，但不與自己的滯后值相關(guān)且不與等式右邊的變量相關(guān)，假設(shè) ? 是 ?t 的協(xié)方差矩陣，是一個(gè) (k?k)的正定矩陣。式 ()可以展開表示為 VAR模型的一般表示模型的一般表示 4() 即含有 k 個(gè)時(shí)間序列變量的 VAR(p)模型由 k 個(gè)方程組成。5其中 ， ci , aij , bij 是要被估計(jì)的參數(shù)。也可表示成： 例如：例如： 作為 VAR的一個(gè)例子，假設(shè)工業(yè)產(chǎn)量（ IP） 和貨幣供應(yīng)量（ M1） 聯(lián)合地由一個(gè)雙變量的 VAR模型決定。內(nèi)生變量滯后二階的 VAR(2)模型是： 6 一般稱式 ()為 非限制性向量自回歸模型非限制性向量自回歸模型 (unrestricted VAR)。 沖擊向量 ?t 是白噪聲向量，因?yàn)? ?t 沒有結(jié)構(gòu)性的含義，被稱為簡(jiǎn)化形式的沖擊向量。 為了敘述方便，下面考慮的 VAR模型都是不含外生變量的非限制向量自回歸模型，用下式表示 或 其中 :()7 如果行列式 det[?(L)]的根都在單位圓外，則式 ()滿足穩(wěn)定性條件，可以將其表示為無窮階的向量動(dòng)平均(VMA(∞))形式 ()其中 8 對(duì) VAR模型的估計(jì)可以通過最小二乘法來進(jìn)行，假如對(duì) ? 矩陣不施加限制性條件，由最小二乘法可得 ? 矩陣的估計(jì)量為 () 其中： 當(dāng) VAR的參數(shù)估計(jì)出來之后，由于 ?(L)A(L)=Ik， 所以也可以得到相應(yīng)的 VMA(∞)模型的參數(shù)估計(jì)。 9 由于僅僅有內(nèi)生變量的滯后值出現(xiàn)在等式的右邊，所以不存在同期相關(guān)性問題，用普通最小二乘法 (OLS)能得到 VAR簡(jiǎn)化式模型的一致且有效的估計(jì)量。即使擾動(dòng)向量 ?t 有同期相關(guān)， OLS仍然是有效的，因?yàn)樗械姆匠逃邢嗤幕貧w量，其與廣義最小二乘法 (GLS)是等價(jià)的。注意，由于任何序列相關(guān)都可以通過增加更多的yt 的滯后而被消除 ， 所以擾動(dòng)項(xiàng)序列不相關(guān)的假設(shè)并不要求非常嚴(yán)格。 10例例 我國貨幣政策效應(yīng)實(shí)證分析的我國貨幣政策效應(yīng)實(shí)證分析的 VAR模型模型 為了研究貨幣供應(yīng)量和利率的變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的長(zhǎng)期影響和短期影響及其貢獻(xiàn)度，采用我國 1995年 1季度～2023年 4季度的季度數(shù)據(jù)，并對(duì)變量進(jìn)行了季節(jié)調(diào)整。設(shè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)為 CPI_90 (1990年 1季度 =1)、居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)率為 CPI 、實(shí)際 GDP的對(duì)數(shù)ln(GDP/CPI_90) 為 ln(gdp) 、 實(shí)際 M1的對(duì)數(shù)ln(M1/CPI_90) 為 ln(m1) 和實(shí)際利率 rr (一年期存款利率 RCPI ）。 11 利用 VAR(p)模型對(duì) ?ln(gdp) ， ?ln(m1) 和 rr， 3個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行實(shí)證研究，其中實(shí)際 GDP和實(shí)際 M1以對(duì)數(shù)差分的形式出現(xiàn)在模型中，而實(shí)際利率沒有取對(duì)數(shù)。 12EViews軟件中軟件中 VAR模型的建立和估計(jì)模型的建立和估計(jì) 1．建立．建立 VAR模型模型 為了創(chuàng)建一個(gè) VAR對(duì)象，應(yīng)選擇 Quick/Estimate VAR… 或者選擇 Objects/New object/VAR或者在命令窗口中鍵入 var。 便會(huì)出現(xiàn)下圖的對(duì)話框 (以例 )： 13 可以在對(duì)話框內(nèi)添入相應(yīng)的信息：可以在對(duì)話框內(nèi)添入相應(yīng)的信息： (1) 選擇模型類型（選擇模型類型（ VAR Type）：）： 無約束向量自回歸（ Unrestricted VAR） 或者向量誤差修正（ Vector Error Correction）。 無約束 VAR模型是指 VAR模型的簡(jiǎn)化式。 (2) 在在 Estimation Sample編輯框中設(shè)置樣本區(qū)間編輯框中設(shè)置樣本區(qū)間 14 (3) 輸入滯后信息輸入滯后信息 在 Lag Intervals for Endogenous編輯框中輸入滯后信息，表明哪些滯后變量應(yīng)該被包括在每個(gè)等式的右端。 這這一信息應(yīng)該成對(duì)輸入：每一對(duì)數(shù)字描述一個(gè)滯后區(qū)間。一信息應(yīng)該成對(duì)輸入：每一對(duì)數(shù)字描述一個(gè)滯后區(qū)間。 例如，滯后對(duì) 1 4表示用系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的 1階到 4階滯后變量作為等式右端的變量。 也可以添加代表滯后區(qū)間的任意數(shù)字，但都要成對(duì)輸入。例如： 2 4 6 9 12 12即為用 2―4 階， 6―9 階及第 12階滯后變量。 15 (4) 在在 Endogenous Variables編輯欄中輸入相應(yīng)的內(nèi)生變量編輯欄中輸入相應(yīng)的內(nèi)生變量 (5) 在在 Exogenous Variables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量 EViews允許 VAR模型中包含外生變量，其中 xt 是 d 維外生變量向量 , k?d 維矩陣 H 是要被估計(jì)的系數(shù)矩陣?？梢栽?Exogenous Variables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量。系統(tǒng)通常會(huì)自動(dòng)給出常數(shù) c 作為外生變量。 其余兩個(gè)菜單（ Cointegration 和 Restrictions） 僅與 VEC模型有關(guān)，將在下面介紹。 16 2．． VAR估計(jì)的輸出估計(jì)的輸出 VAR對(duì)象的設(shè)定框填寫完畢，單擊 OK按紐， EViews將會(huì)在 VAR對(duì)象窗口顯示如下估計(jì)結(jié)果： 17 表中的每一列對(duì)應(yīng) VAR模型中一個(gè)內(nèi)生變量的方程。對(duì)方程右端每一個(gè)變量， EViews會(huì)給出 系數(shù)估計(jì)系數(shù)估計(jì)值值 、估計(jì) 系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差 (圓括號(hào)中圓括號(hào)中 )及 t統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 (方括號(hào)中方括號(hào)中)。 例如，在 D(log(M1_SA_P))的方程中 RR_SA(1)的系數(shù)是 。 同時(shí)，有兩類回歸統(tǒng)計(jì)量出現(xiàn)在 VAR對(duì)象估計(jì)輸出的底部： 18 輸出的第一部分顯示的是每個(gè)方程的標(biāo)準(zhǔn) OLS回歸統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)各自的殘差分別計(jì)算每個(gè)方程的結(jié)果，并顯示在對(duì)應(yīng)的列中。 輸出的第二部分顯示的是 VAR模型的回歸統(tǒng)計(jì)量。19 殘差的協(xié)方差的行列式值 (自由度調(diào)整 )由下式得出： 其中 m 是 VAR模型每一方程中待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，不做自由度調(diào)整的殘差協(xié)方差行列式計(jì)算中不減 m。 是 k 維殘差列向量。通過假定服從多元正態(tài)（高斯）分布計(jì)算對(duì)數(shù)似然值： AIC和 SC兩個(gè)信息準(zhǔn)則的計(jì)算將在后文詳細(xì)說明。 20 例 ： 盡管有一些系數(shù)不是很顯著，我們?nèi)匀贿x擇滯后階數(shù)為 2。3個(gè)方程擬合優(yōu)度分別為： 可以利用這個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)及下一步的分析。 21 同時(shí)，為了檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)之間是否存在同期相關(guān)關(guān)系，可用殘差的同期相關(guān)矩陣來描述。用 ei 表示第 i 個(gè)方程的殘差， i =1， 2， 3。 其結(jié)果如表 。 表表 殘差的同期相關(guān)矩陣殘差的同期相關(guān)矩陣 e1 e 2 e 3e 1 1 e 2 1 e 3 122 從表中可以看到實(shí)際利率 rr、 實(shí)際 M1的 ?ln(m1) 方程和實(shí)際 GDP的 ?ln(gdp)方程的殘差項(xiàng)之間存在的同期相關(guān)系數(shù)比較高，進(jìn)一步表明實(shí)際利率 、 實(shí)際貨幣供給量 (M1)和實(shí)際 GDP之間存在著同期的影響關(guān)系，盡管得到的估計(jì)量是一致估計(jì)量，但是在本例中卻無法刻畫它們之間的這種同期影響關(guān)系。 23 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) VAR模型模型 (SVAR) 在式 ()或式 ()中，可以看出， VAR模型并沒有給出變量之間當(dāng)期相關(guān)關(guān)系的確切形式，即在模型的右端不含有當(dāng)期的內(nèi)生變量，而這些當(dāng)期相關(guān)關(guān)系隱藏在誤差項(xiàng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)之中，是無法解釋的，所以將式 ()和式 ()稱為 VAR模型的簡(jiǎn)化形式 。本節(jié)要介紹的結(jié)構(gòu) VAR模型 (Structural VAR， SVAR)，實(shí)際是指 VAR模型的結(jié)構(gòu)式，即 在模型中包含變量之在模型中包含變量之間的當(dāng)期關(guān)系間的當(dāng)期關(guān)系 。 24 1．兩變量的．兩變量的 SVAR模型模型 為了明確變量間的當(dāng)期關(guān)系，首先來研究?jī)勺兞康腣AR模型結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)化式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。如含有兩個(gè)變量 (k=2)、 滯后一階 (p=1)的 VAR模型結(jié)構(gòu)式可以表示為下式 ()25 在模型 ()中假設(shè)： （ 1）隨機(jī)誤差 uxt 和 uzt 是白噪聲序列，不失一般性，假設(shè)方差 ?x2 = ?z2 =1 ； （ 2）隨機(jī)誤差 uxt 和 uzt 之間不相關(guān)， cov(uxt , uzt )=0 。 式 ()一般稱為 一階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型一階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型(SVAR(1))。 26 它是一種結(jié)構(gòu)式經(jīng)濟(jì)模型，引入了變量之間的作用與反饋?zhàn)饔?，其中系?shù) c12 表示變量 zt 的單位變化對(duì)變量 xt 的 即時(shí)作用即時(shí)作用 ， ?21表示 xt1的單位變化對(duì) zt 的 滯后滯后影響影響 。雖然 uxt 和 uzt 是單純出現(xiàn)在 xt 和 zt 中的隨機(jī)沖擊，但如果 c21 ? 0， 則作用在 xt 上的隨機(jī)沖擊 uxt 通過對(duì) xt 的影響，能夠即時(shí)傳到變量 zt 上，這是一種 間接的即間接的即時(shí)影響時(shí)影響 ；同樣，如果 c12 ? 0， 則作用在 zt 上的隨機(jī)沖擊 uzt 也可以對(duì) xt 產(chǎn)生間接的即時(shí)影響。沖擊的交互影響體現(xiàn)了變量作用的雙向和反饋關(guān)系。 27 為了導(dǎo)出 VAR模型的簡(jiǎn)化式方程，將上述模型表示為矩陣形式 該模型可以簡(jiǎn)單地表示為 ()28 假設(shè) C0可逆，可導(dǎo)出簡(jiǎn)化式方程為 其中 ()29 從而可以看到，簡(jiǎn)化式擾動(dòng)項(xiàng) ?t 是結(jié)構(gòu)式擾動(dòng)項(xiàng) ut 的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。因?yàn)? uxt 和 uzt 是不相關(guān)的白噪聲序列，則可以斷定上述 ?1t 和 ?2t 也是白噪聲序列，并且均值和方差為 30 同期的 ?1t 和 ?2t 之間的協(xié)方差為