現(xiàn)代控制理論第4章(已修改)
2025-08-27 23:42 本頁面
【正文】 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 分析 線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。 在線性定常系統(tǒng)中 ， 若平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的 ， 則它是大范圍漸近穩(wěn)定的 。 然而在非線性系統(tǒng)中 ， 不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的 。 對于非線性系統(tǒng)的分析，基于 Lyapunov第一法的分析方法永遠不夠，基于 Lyapunov第二法的方法 非線性系統(tǒng)的分析方法 ——克拉索夫斯基法 、 SchultzGibson變量梯度法 、 魯里葉 (Lure’)法 以及 波波夫法 等。 下面主要討論非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的兩種方法 克拉索夫斯基法 變量梯度法 定理 非線性系統(tǒng)方程為 已知系統(tǒng) 平衡狀態(tài)為坐標原點 xe = 0 ，即 f(xe )=0,且 f(x )對xi處 是可微的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為 )( xfx ??))()( (212221212111nnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxfxFexxnnnnnnT??????????????????????????????????????????????????則系統(tǒng)在 xe =0處是漸近穩(wěn)定的 充分條件 是：下列矩陣 )()()(? xFxFxF T ??在所有 x下都是負定的，而且 )()()( xfxfxxxV TT ?? ??是一個李亞普諾夫（ Lyapunov） 函數(shù)。 .,)()( 近穩(wěn)定的則平衡狀態(tài)是大范圍漸時，如果當 ???? xfxfx T正定負定證明： )()(?)1( xVxF ?近穩(wěn)定的則平衡狀態(tài)是大范圍漸時，如果當對任意 n維狀態(tài)向量 x， 有 ， 有? ?xxFxFxxxFx TTT )()()(? ??xxFxxxFx TTT )()( ??? ? xxFxxxFx TTT )()( ??xxFx T )(2?標量 標量負定負定說明： )()(? xFxF ?外，處處不為零。，而且，其行列式除點時， 00)(0 ??? xxFxTxxfxF??? )()(又,0)(,0 ?? xfx顯然。以外，沒有其他平衡點中，除說明：在整個狀態(tài)空間 0?x???????)0()0(0)()()(xxxfxfxV T正數(shù)正定負定時，上式表明： )()(? xVxF負定負定 )()(?)2( xVxF ??)()()()()()( xfxFxxFdtdxx xfdt xdfxf ?????? ??)()()()()( xfxfxfxfxV TT ??? ??? ? )()()()()()( xfxFxfxfxfxF TT ??)()()()()()( xfxFxfxfxFxf TTT ??? ?)()(?)()()()()(xfxFxfxfxFxFxfTTT???。原點是漸近穩(wěn)定的。是一個李亞普諾夫函數(shù)負定。負定，則可見，若)()()(?xVxVxF ?是大范圍漸近穩(wěn)定的。則平衡狀態(tài)，若隨著eTxxfxfxVx ,)()()( ?????例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 32212211 3xxxxxxx????????試用克拉索夫基法確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的 xe = 0 穩(wěn)定性 . 解： ???????????3221213)(xxxxxxf 0)0( ?f???????????????????????????????222212211131113)(xxfxfxfxfxF??????????????????????2222 3111331113)()()(?xxxFxFxFTT??????????2262226)(?xxF由塞爾維斯特準則有 061 ????083662226 22222 ???????? xx。原點是漸近穩(wěn)定的。是一個李亞普諾夫函數(shù)負定。負定，則可見，若)()()(?xVxVxF ?? ?是大范圍漸近穩(wěn)定的。則平衡狀態(tài)）（）（時，若隨著0,333)()()(23221221322121322121???????????????????????????eTxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxVx關(guān)于定理的幾點說明： （ 1）該定理對非線性系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)只給出了穩(wěn)定的充分條件，若 不是負定的，則不能給出任何結(jié)論。 )(? xF（ 2）使 為負定的必要條件是， F(x)主對角線上的所有元素不為零，即： )(? xF),2,1(0 nixfii ?????（ 3） 線性系統(tǒng)是 非線性系統(tǒng)的特例，該定理也適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。 AAxFAxF T ??? )(?,)(雅可比矩陣為即設(shè) ,Axx ??若 A為非奇異，則當 為負定時，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定。 )(? xF。李亞普諾夫函數(shù)為 xAAxxxxV TTT )()( ?? ??(4)克拉索夫斯基方法主要適用于針對可線性化表示的函數(shù)，即 （ a）非線性特性可用解析表達式表示的單值函數(shù)； （ b）非線性函數(shù) 對 是可微的； ),2,1()( nixfi ??x),2,1(0)( nix xfii ?????（ c） 變量梯度法 1）梯度的概念 一個多元函數(shù) v(x1,x2,… ,xn) 存在對 n 個變量 xi 的 偏導(dǎo)數(shù) 。 ixv?? 在控制問題中， 偏導(dǎo)數(shù) 是指 n維空間中的運動質(zhì)點運動到達某一位置時沿各個坐標方向的變化率。 把反映運動質(zhì)點沿各個坐標方向的變化率的各偏導(dǎo)數(shù)作為分量，構(gòu)成一個 n維向量，稱該向量為函數(shù) v(x1,x2,… ,xn) 的 梯度 。習(xí)慣上用符號“ ?V”表示。 ????????????????????????????????????????????nnVVVxVxVxVV2121?2）向量的曲線積分 變力做功問題 ：變力 F沿著給定路徑 L所做的功可用曲線積分來計算。 ??LF d LA積分的結(jié)果與積分路徑的選擇無關(guān)。 ????? ?????????),(0)0(0111111321 nnnn xxxxxnnxxxxLdxFdxFF d LA???3）旋度方程 如果一個向量的曲線積分與積分路徑選擇無關(guān)，則向量的旋度必為零。 。0)( ?Fr o t 由向量的旋度為零可得出由
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