【正文】 排列組合應(yīng)用題解法綜述 （ 目錄 ） 基本概念和考點 合理分類和準(zhǔn)確分步 特殊元素和特殊位置問題 相鄰相間問題 定序問題 分房問題 環(huán)排、 多排問題 小集團(tuán)問題 先選后排問題 平均分組問題 構(gòu)造模型策略 實驗法（枚舉法） 其它特殊方法 排列組合應(yīng)用題解法綜述 計數(shù)問題中排列組合問題是最常見的，由于其解法往往是構(gòu)造性的 , 因此方法靈活多樣 , 不同解法導(dǎo)致問題難易變化也較大，而且解題過程出現(xiàn) “ 重復(fù) ” 和 “ 遺漏 ”的錯誤較難自檢發(fā)現(xiàn)。因而對這類問題歸納總結(jié)，并把握一些常見解題模型是必要的。 回目錄 基 本 原 理 組合 排列 排列數(shù)公式 組合數(shù)公式 組合數(shù)性質(zhì) 應(yīng) 用 問 題 知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖： 回目錄 名稱內(nèi)容 分類原理 分步原理 定 義 相同點 不同點 兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系： 做一件事或完成一項工作的方法數(shù) 直接（ 分類 ）完成 間接（ 分步驟 ）完成 做一件事，完成它可以有 n類辦法， 第一類辦法中有 m1種不同的方法， 第二類辦法中有 m2種不同的方法 … ， 第 n類辦法中有 mn種不同的方法， 那么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+…m n 種不同的方法 做一件事，完成它可以有 n個步驟， 做第一步中有 m1種不同的方法， 做第二步中有 m2種不同的方法 …… ， 做第 n步中有 mn種不同的方法， 那么完成這件事共有 N=m1m 2m 3…m n 種不同的方法 . 回目錄 ： 名 稱 排 列 組 合 定義 種數(shù) 符號 計算 公式 關(guān)系 性質(zhì) ， mnA mnC( 1 ) ( 1 )mnA n n n m? ? ??? ? ?!( ) !mnnAnm? ? ! 0 ! 1nnAn??!)1()1(mmnnnC mn???????)!(!!mnmnC mn ?? 10 ?nCm m mn n mA C A??mnnmn CC ?? 11 ?? ?? mnmnmn CCC從 n個不同元素中取出 m個元 素， 按一定的順序 排成一列 從 n個不同元素中取出 m個元 素， 把它并成 一組 所有排列的的個數(shù) 所有組合的個數(shù) 11mmnnA n A???回目錄 。能運(yùn) 用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問題分析問題的能力 合問題 . 教學(xué)目標(biāo) 計數(shù)原理。 回目錄 完成一件事，有 n類辦法，在第 1類辦法中有 m1種不同的方法，在第 2類辦法中有 m2 種不同的方法， … ，在第 n類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法． 1 2 nN = m + m + + m (加法原理 ) 回目錄 完成一件事，需要分成 n個步驟，做第 1步有m1種不同的方法，做第 2步有 m2 種不同的方法， … ，做第 n步有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法． （乘法原理） 分步計數(shù)原理 各步相互依存 ，每步中的方法完成事件的 一個階段 ， 不能完成整個事件． 1 2 nN = m m m 分步計數(shù)原理區(qū)別 分類計數(shù)原理 方法相互獨(dú)立 ，任何一種方法都可以 獨(dú)立地完成這件事 。 回目錄 某校組織學(xué)生分 4個組從 3處風(fēng)景點中選一處去春游 ,則不同的春游方案的種數(shù)是 A. B. C. D. C34 P34 43 34（ 選 C） 回目錄 將數(shù)字 4 填入標(biāo)號為 4 的四個方格里 , 每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字都不相同的填法共有 A. 6 種 B. 9種 （ 3 3 1= 9. 可用框圖具體填寫） 回目錄 考點分析 從 《 考綱大綱 》 看：高考對這部分的要求還是比較高的 .要重視兩個計數(shù)原理、排列、組合在解決實際問題上的應(yīng)用 .值得提醒地是：計數(shù)模型不一定是排列或組合 .畫一畫，數(shù)一數(shù)，算一算，是基本的計數(shù)方法，不可廢棄 . 例（ 2022年新課程卷） 某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得 3分；平一場，得 1分；負(fù)一場，得 0分 .一球隊打完 15場，積 33分 .若不考慮順序，該隊勝、負(fù)、平的情況共有 A 3種 B 4種 C 5種 D 6種 . 回目錄 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下 : ,即采取分步還 是分類 ,或是分步與分類同時進(jìn)行 ,確定分多 少步及多少類。 (有序 )還是 組合 (無序 )問題 ,元素總數(shù)是多少及取出多 少個元素 . ※ 解決排列組合綜合性問題，往往類與步交 叉，因此必須掌握一些常用的解題策略 回目錄 判斷下列問題是組合問題還是排列問題 ? (1)設(shè)集合 A={a,b,c,d,e}，則集合 A的含有 3個元素的子集有多少個 ? (2)某鐵路線上有 5個車站，則這條鐵路線上 共需準(zhǔn)備多少種車票 ? 有多少種不同的火車票價？ 組合問題 排列問題 (3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和 英語兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法 ? 組合問題 (4)10人聚會，見面后每兩人之間要 握手相互問候，共需握手多少次 ? 組合問題 (5)從 4個風(fēng)景點中選出 2個安排游覽 , 有多少種不同的方法 ? 組合問題 (6)從 4個風(fēng)景點中選出 2個 ,并確定這 2個風(fēng)景 點的游覽順序 ,有多少種不同的方法 ? 排列問題 組合問題 回目錄 合理分類和準(zhǔn)確分步 解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏； 按 事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚 . 回目錄 總的原則 —合理 分類和 準(zhǔn)確 分步 解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。 解法 1 分析：先安排甲，按照要求對其進(jìn)行分類，分兩類： 根據(jù)分步及分類計數(shù)原理，不同的站法共有 例 1 6個同學(xué)和 2個老師排成一排照相， 2個老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？ 1）若甲在排尾上，則剩下的 5人可自由安排，有 種方法 . 55A2) 若甲在第 7位，則 排尾的排法有 種， 1位的排法有 種 , 第 7位的排法有 種 ，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的站法有 種。 14A14A 44A441414 AAA ??再安排老師，有 2種方法。 .(1008)(2 44141455 種）???? AAAA 回目錄 把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ) 例 1 如圖，某電子器件是由三個電 阻組成的回路 ,其中有 6個焊接 點 A， B， C， D， E， F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通。現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了 , 那么焊接點脫落的可能性共有（ ） 63種 （ B） 64種 （ C） 6種 （ D） 36種 CDBAEF分析 :由加法原理可知 1 2 66 6 6 63C C C? ? ?????? ? ?由乘法原理可知 2 2 2 2 2 21=63 回目錄 （ 1） 0， 1， 2， 3， 4， 5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？ 練 習(xí) 1 分類：個位數(shù)字為 5或 0： 個位數(shù)為 0： 45A個位數(shù)為 5： 216341445 ??? AAA3414 AA ?回目錄 （ 2） 0， 1， 2， 3， 4， 5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且大于 31250的五位數(shù)？ 分類： 引申 1： 31250是由 0， 1， 2， 3， 4， 5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個數(shù)？ 3 2 51231234134512 ?????? AAAAAA2 7 53 2 54515 ??? AA275122 12233445 ?????? AAAA方法一：（排除法） 方法二：（直接法） 引申 2：由 0， 1， 2， 3， 4， 5組成的無重復(fù)數(shù)字的 五位數(shù)中大于 31250，小于 50124的數(shù)共有多少個？ 2022 全國 12 在由數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5組成的所有 沒有重復(fù)的 5位數(shù)中，大于 23145且小于 43512的 數(shù)共有（ ）個 58回目錄 合理分類與分步策略 例 .在一次演唱會上共 10名演員 ,其中 8人能 能唱歌 ,5人會跳舞 ,現(xiàn)要演出一個 2人 唱歌 2人伴舞的節(jié)目 ,有多少選派方法 ? 解： 10演員中有 5人只會唱歌， 2人只會跳舞 3人為全能演員。 以只會唱歌的 5人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究 只會唱 的 5人中沒有人選上唱歌人員共有 ____ 種 ,只會唱的 5人中只有 1人選上唱歌人 員 ________種 ,只會唱的 5人中只有 2人 選上唱歌人員有 ____種，由分類計數(shù) 原理共有 ______________________種。 2233CC1 1 25 3 4C C C2255CC2233CC1 1 25 3 4C C C2255CC+ + 回目錄 本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)： *以 3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn) *以 3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) *以只會跳舞的 2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) 都可經(jīng)得到正確結(jié)果 解含有約束條件的排列組合問題，可按元素 的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分 步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的 始終。 回目錄 有不同的數(shù)學(xué)書 7本，語文書 5本，英語書 4本，由其中取出不是同一學(xué)科的書 2本，共有多少種不同的取法？ （ 7 5 + 7 4 + 5 4 = 83） 回目錄 （ 4）（ 2022福建 理）從 6人中選 4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這 6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ） A． 300種 B． 240種 C． 144種 D． 96種 B （直接法）分三種情況： 情況一