函數(shù)的單調(diào)性與最值(已修改)
2025-08-27 20:29 本頁(yè)面
【正文】 函數(shù)單調(diào)的概念 ? 我們?cè)诤瘮?shù)的基本性質(zhì)中曾經(jīng)討論過(guò)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，在此我們?cè)俅位仡櫼幌潞瘮?shù)單調(diào)的定義。 ? 定義 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間（ a， b）上有定義，如果對(duì)于區(qū)間（ a， b）內(nèi)的任意兩點(diǎn) x1 ， x2 ，滿足 ? （ 1）當(dāng) x1 x2 時(shí)，恒有 f(x1) ? f(x2)（或 f(x1) f(x2)） ,則稱函數(shù) f(x)在開區(qū)間（ a， b）內(nèi) 單調(diào)增 （ 或嚴(yán)格單調(diào)增 ）； ? （ 2）當(dāng) x1 x2 時(shí)，恒有 f(x1) ? f(x2)（或 f(x1) ? f(x2)） ,則稱函數(shù) f(x)在開區(qū)間（ a， b）內(nèi) 單調(diào)減 （ 或嚴(yán)格單調(diào)減 ）； ? 一般情況下，單調(diào)增函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸上升的曲線。單調(diào)減函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸下降的曲線。 ? 如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的某些子區(qū)間上是單調(diào)增的，而在另一些子區(qū)間上是單調(diào)減的，則稱函數(shù)為分段單調(diào)函數(shù)。 單調(diào)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ? 在本段中，我們將考慮函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，利用這種關(guān)系，就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性。 ? 定理 1 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間（ a， b）內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上 單調(diào)增加 （ 或單調(diào)減少 ）的充分必要條件是 f ?(x) ? 0（或 f ?(x) ? 0 ）； ? 證明：必要性。 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)增加，在區(qū)間（ a， b）內(nèi)任取兩點(diǎn) x, x+?x，有 ? （ 1）當(dāng) ?x? 0時(shí)，則 x x+?x，從而 f(x+?x) ? f(x)， 于是 f(x+?x) f(x) ? 0； ? （ 2）當(dāng) ?x 0時(shí)，則 x ? x+?x，從而 f(x+?x) ? f(x)， 于是 f(x+?x) f(x) ? 0； ? 綜合（ 1）、（ 2）即知，對(duì)任意的 ?x，恒有 ? 從而有 ? 充分性。 設(shè)函數(shù) f(x)在 開區(qū)間（ a， b）內(nèi)可導(dǎo)，且 f ?(x) ? 0，則對(duì)于 開區(qū)間（ a， b）內(nèi)的任意兩點(diǎn) x1 ， x2 ，且設(shè) x1 x2 ，由拉格朗日中值定理可知，有 ? 由于 f ?(?) ? 0，因此， f( x2) ? f( x1)。即 f(x)為單調(diào)增加。 ? 對(duì)于單調(diào)減少的情況類似可以證明。 ? 利用拉格朗日中值定理還可以證明 ? 定理 2 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間（ a， b）內(nèi)可導(dǎo)，且 f ?(x) ? 0 （或 f ?(x) 0）， 則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b] 內(nèi) 嚴(yán)格單調(diào)增加 （ 或嚴(yán)格單調(diào)減少 ）。 .0)()( ?? ??? x xfxxf.0)()()(l i m 39。0 ??? ???
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