高中數(shù)學(xué)-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示-第3課時(shí)-平面向量共線的坐標(biāo)表示課件-新人教a版必修(已修改)
2025-08-17 18:26 本頁面
【正文】 ? 1． 平面向量共線的坐標(biāo)表示 ?設(shè) a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， 則 a∥ b? . ? 2． 下列各組向量中 ， 共線的是 ? ( ) ? A． a＝ (－ 1,2)， b＝ (3,5) ? B． a＝ (1,2)， b＝ (2,1) ? C． a＝ (2， － 1)， b＝ (3,4) ? D． a＝ (－ 2,1)， b＝ (4， － 2) ? [答案 ] D x1y2－ x2y1＝ 0 ? 3．在直角坐標(biāo)系 xOy內(nèi)，已知 A(－ 2，－ 3)，B(0,1)， C(2,5)，求證 A、 B、 C三點(diǎn)共線． [ 證明 ] 由已知條件得， AB→＝ ( 0,1) － ( － 2 ，－ 3) ＝ ( 2,4) ，AC→＝ ( 2,5) － ( － 2 ，－ 3) ＝ ( 4,8) ． ∵ 2 8 － 4 4 ＝ 0 ， ∴ AB→∥ AC→， ∵ AB→與 AC→有公共點(diǎn) A ， ∴ A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線． ?重點(diǎn)：用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件 ． ?難點(diǎn)：運(yùn)用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件的應(yīng)用 ， 體會(huì)向量在解題中的工具性作用 ． ? 1． 若 a與 b共線 (b≠0)， 則存在實(shí)數(shù) λ， 使 a＝ λb， 這里 b≠0的條件千萬不可忽視 ， 而在坐標(biāo)表示的共線條件中 ， 若 a＝ (x1， y1)，b＝ (x2， y2)， 則 a∥ b?x1y2－ x2y1＝ 0， 對(duì)任意向量 a， b都成立 ， 解題時(shí) ， 要區(qū)別應(yīng)用 ． ? 2． 向量共線條件有著廣泛的應(yīng)用 ， 如證明直線平行 、 三點(diǎn)共線等 ， 特別是在題設(shè)條件中遇到兩直線相交于一點(diǎn)時(shí) ， 應(yīng)用共線條件來探究常能起到事半功倍的效果 ． [ 解析 ] ∵ AB→＝ OB→－ OA→＝ ( 4,5) － ( k, 12) ＝ (4 － k ，－7) ， BC→＝ OC→－ OB→＝ ( 10 ， k ) － ( 4,5) ＝ (6 ， k － 5) ． ∵ A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線， ∴ AB→與 BC→共線， ∴ (4 － k )( k － 5) － 6 ( － 7) ＝ 0 ， 解得 k ＝ 11 ，或 k ＝－ 2. [ 點(diǎn)評(píng) ] 使用 A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線這一條件時(shí)， AC→＝λ BC→，或 AB→＝ λ AC→等，都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式，故用 AB→和 BC→. 如果向量 AB→＝ i － 2 j ， BC→＝ 2 i ＋ m j ，其中 i 、 j 分別是 x軸、 y 軸正方向上的單位向量，若 A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線，則m ＝ ________. [答案 ] － 4 [ 解析 ] 法 1 ： ∵ A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線，即 AB→、 BC→共線， ∴ 存在實(shí)數(shù) λ 使得 AB→＝ λ BC→， 即 i－ 2 j＝ λ (2 i＋ m j ) ．所以????? 2 λ ＝ 1λm ＝－ 2， ∴ m ＝－ 4 ， 即 m ＝－ 4 時(shí)， A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線． 法 2 ：依題意知 i＝ (1,0) ， j＝ (0,1) ，即 AB→＝ (1,0) － 2( 0,1)＝ (1 ，－ 2) ， BC→＝ 2( 1,0) ＋ m (0,1) ＝ (2 ， m ) ，而 AB→， BC→共線，∴ 1
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