【正文】 排列組合問題在實際應(yīng)用中是非常廣泛的，并且在實際中的解題方法也是比較復(fù)雜的，下面就通過一些實例來總結(jié)實際應(yīng)用中的解題技巧。：從n個不同元素中，任取m個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。：從n個不同元素中，任取m個元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。：：：與順序有關(guān)的為排列問題，與順序無關(guān)的為組合問題。例1 學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法?分析 此題涉及到的是不相鄰問題，并且是對老師有特殊的要求，因此老師是特殊元素，在解決時就要特殊對待。所涉及問題是排列問題。解 先排學生共有種排法，然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插，選其中的4個空檔，共有種選法。根據(jù)乘法原理，共有的不同坐法為種。結(jié)論1 插入法：對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題，可以用插入法。即先排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例2 、5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法?分析 此題涉及到的是排隊問題，對于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她們要相鄰，因此可以將她們看成是一個元素來解決問題。解 因為女生要排在一起，所以可以將3個女生看成是一個人，與5個男生作全排列，有種排法，其中女生內(nèi)部也有種排法，根據(jù)乘法原理，共有種不同的排法。結(jié)論2 捆綁法：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列。例3 高二年級8個班，組織一個12個人的年級學生分會，每班要求至少1人，名額分配方案有多少種?分析 此題若直接去考慮的話，就會比較復(fù)雜。但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題，就會顯得比較清楚，方法簡單，結(jié)果容易理解。解 此題可以轉(zhuǎn)化為：將12個相同的白球分成8份，有多少種不同的分法問題，因此須把這12個白球排成一排，在11個空檔中放上7個相同的黑球，每個空檔最多放一個，即可將白球分成8份，顯然有種不同的放法，所以名額分配方案有種。結(jié)論3 轉(zhuǎn)化法：對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將其化歸為簡單的、具體的問題來求解。例4 袋中有5分硬幣23個，1角硬幣10個，如果從袋中取出2元錢，有多少種取法?分析 此題是一個組合問題，若是直接考慮取錢的問題的話，情況比較多，也顯得比較凌亂，難以理出頭緒來。但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話，就會很容易解決問題。解 把所有的硬幣全部取出來，23+10=，，所以共有種取法。結(jié)論4 剩余法：在組合問題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對應(yīng)的，因此，當求取法困難時，可轉(zhuǎn)化為求剩法。例5 期中安排考試科目9門，語文要在數(shù)學之前考，有多少種不同的安排順序?分析 對于任何一個排列問題，就其中的兩個元素來講的話，他們的排列順序只有兩種情況，并且在整個排列中，他們出現(xiàn)的機會是均等的，因此要求其中的某一種情況，能夠得到全體，那么問題就可以解決了。并且也避免了問題的復(fù)雜性。解 不加任何限制條件，整個排法有種，“語文安排在數(shù)學之前考”，與“數(shù)學安排在語文之前考”的排法是相等的，所以語文安排在數(shù)學之前考的排法共有種。結(jié)論5 對等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對等的，各占全體的二分之一。在求解中只要求出全體，就可以得到所求。例6 我們班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?分析 此題若是直接去考慮的話，就要將問題分成好幾種情況，這樣解題的話，容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況。而如果從此問題相反的方面去考慮的話，不但容易理解，而且在計算中也是非常的簡便。這樣就可以簡化計算過程。解 43人中任抽5人的方法有種，正副班長，團支部書記都不在內(nèi)的抽法有種，所以正副班長，團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種。結(jié)論6 排異法：有些問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中排除。練習1 某人射擊8槍，命中4槍，那么命中的4槍中恰有3槍是連中的情形有幾種?練習2 一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種?練習3 馬路上有編號為1，2，3，……10的十只路燈，為節(jié)約電而不影響照明，可以把其中的三只路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉馬路兩端的燈，問滿足條件的關(guān)燈方法有多少種?練習4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊，那么不同的站法有多少種?練習5 某電路有5個串聯(lián)的電子元件，求發(fā)生故障的不同情形數(shù)目?小結(jié)：解決排列組合應(yīng)用題的一些解題技巧，具體有插入法，捆綁法，轉(zhuǎn)化法，剩余法，對等法，排異法。對于不同的題目，根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來解決問題。對于一些比較復(fù)雜的問題，我們可以將幾種技巧結(jié)合起來應(yīng)用，便于我們迅速準確地解題。在這些技巧中所涉及到的數(shù)學思想方法，例如：分類討論思想，變換思想，特殊化思想等等，要在應(yīng)用中注意掌握。典例精析題型一　分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 在1到20這20個整數(shù)中，任取兩個數(shù)相加，使其和大于20，共有　　種取法.【解析】當一個加數(shù)是1時，另一個加數(shù)只能是20，有1種取法。當一個加數(shù)是2時，另一個加數(shù)可以是19,20，有2種取法。當一個加數(shù)是3時，另一個加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法?！斠粋€加數(shù)是10時，另一個加數(shù)可以是11,12，…，19,20，有10種取法。當一個加數(shù)是11時，另一個加數(shù)可以是12,13，…，19,20，有9種取法?！斠粋€加數(shù)是19時，另一個加數(shù)只能是20，有1種取法.由分類加法計數(shù)原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100種取法.【點撥】采用列舉法分類，先確定一個加數(shù)，再利用“和大于20”確定另一個加數(shù).【變式訓練1】(2010濟南市模擬)從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(　　) 【解析】當公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8。當公比為3時，等比數(shù)列可為1,3,9。當公比為32時，等比數(shù)列可為4,6,，公比為1123時，.題型二　分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要求每個旅游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游景點，且6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有　　　種.【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、543=240種.【點撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.【變式訓練2】(2010湘潭市調(diào)研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一人值班，問此值班表共有　　種不同的排法.【解析】依題意，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有54444=1 280種方法.題型三　分類和分步計數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】(2011長郡中學)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有　　　　.【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區(qū)域涂相同的顏色，分為4類：1與5同。2與5同。3與5同。，共有4A44=96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法。第二步：涂區(qū)域2，有3種方法。第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)。第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色。第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，不同的涂色種數(shù)有432(11+13)=96種.【點撥】，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.【變式訓練3】(2009深圳市調(diào)研)用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種?【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C13種涂法。第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法。第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法.由分步乘法原理知共有366=108種涂法.總結(jié)提高分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問題，其區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事。分步乘法計數(shù)原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當各個步驟都完成之后，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個基本計數(shù)原理的基礎(chǔ).　排列與組合典例精析題型一　排列數(shù)與組合數(shù)的計算【例1】 計算：(1)8!+A66A28A410。(2) C33+C34+…+C310.【解析】(1)原式=87654321+6543218710987=576543256(89)=5 130623.(2)原式=C44+C34+C35+…+C310=C45+C35+…+C310=C46+C36+…+C310=C411=330.【點撥】在使用排列數(shù)公式Amn=n!(nm)!進行計算時，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運用.【變式訓練1】解不等式 6 .【解析】原不等式即9!(9x)!69!(11x)!，也就是1(9x)! ，化簡得x221x+1040，解得x8或x13，又因為2≤x≤9，且x∈N*，所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.題型二　有限制條件的排列問題【例2】 3男3女共6個同學排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法?(2)女生與男生相間，有多少種排法?(3)任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法?(4)3名男生不排在一起，有多少種排法?(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法?【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個元素的全排列，所以共有A44?A33=144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A33?A33=72種排法.(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個空隙，任取其中3個安插男生即可，因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有A33?A34=144種.(4)直接分類較復(fù)雜，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為A66A33A44=576種.(5)先將2個女生排在男生甲、乙之間，、?(相當于一個男生