量子力學習題解答-第2章(已修改)
2025-08-17 16:34 本頁面
【正文】 第二章定態(tài)薛定諤方程本章主要內(nèi)容概要：1. 定態(tài)薛定諤方程與定態(tài)的性質(zhì)：在勢能不顯含時間的情況下，含時薛定諤方程可以通過分離變量法來求解。首先求解定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程） 求解時需考慮波函數(shù)的標準條件（連續(xù)、有限、單值等）。能量本征函數(shù)具有正交歸一性（分立譜） 或函數(shù)正交歸一性（連續(xù)譜） 由能量本征函數(shù)可以得到定態(tài)波函數(shù) 定態(tài)波函數(shù)滿足含時薛定諤方程。對分立譜，定態(tài)是物理上可實現(xiàn)的態(tài)，粒子處在定態(tài)時，能量具有確定值，其它力學量（不顯含時間）的期待值不隨時間變化。對連續(xù)譜，定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），但是它們可以疊加成物理上可實現(xiàn)的態(tài)。含時薛定諤方程的一般解可由定態(tài)解疊加而成，在分離譜情況下為 系數(shù)由初始波函數(shù)確定 ， 由波函數(shù)的歸一性，可以得到系數(shù)的歸一性 對態(tài)測量能量只能得到能量本征值，得到的幾率是，能量的期待值可由 求出。這種方法與用 方法等價。 2. 一維典型例子：（a）一維無限深勢阱（分立譜，束縛態(tài)） 能量本征函數(shù)和能量本征值為 若 則能量本征函數(shù)和能量本征值為 是基態(tài)（能量最低），是第一激發(fā)態(tài)。波函數(shù)相對于勢阱的中心是奇偶交替的：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，依次類推。（b）一維簡諧振子（分立譜，束縛態(tài)）： 能量本征函數(shù)和能量本征值為 其中厄米多項式，可由母函數(shù)生成 厄米多項式多項式滿足遞推關(guān)系 定義產(chǎn)生算符與湮滅算符 則有 當處于能量本征態(tài)時 （c）一維自由粒子（連續(xù)譜，散射態(tài)）： 定態(tài)薛定諤方程為 能量本征函數(shù)和本征值為 能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 定態(tài)波函數(shù)為 定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），它代表一個向右傳播的正弦波（）或向左傳播的正弦波（），波的傳播速度(相速度)為 盡管定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)，但是定態(tài)疊加成的波包 可以是物理上可實現(xiàn)（可歸一化）的態(tài)。其中疊加系數(shù)由初始波包決定 由能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 波包在空間的傳播速度稱為群速度 （d）一維函數(shù)勢阱： 函數(shù)的性質(zhì)為 在處由于函數(shù)勢的存在，波函數(shù)的導數(shù)出現(xiàn)躍變 （如果是函數(shù)勢，上式中做代換） 束縛態(tài)：只有一個束縛態(tài)，能量本征函函數(shù)和本征值為 散射態(tài)（連續(xù)譜）：定態(tài)薛定諤方程的解為 盡管散射態(tài)不是可歸一化的態(tài)，但是我們可以用它作為代
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