量子力學(xué)習(xí)題解答-第2章-文庫(kù)吧
2025-07-21 16:34 本頁(yè)面
【正文】 表來(lái)討論入射粒子（波包）被勢(shì)反射或透射的情況。由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在連續(xù)和躍變條件，可以得出反射波振幅，透射波振幅與入射波振幅的關(guān)系（設(shè)，沒(méi)有從右向左入射的波）。計(jì)算出反射波幾率流密度，投射波幾率流密度，入射波幾率流密度，可以得到反射系數(shù)和透射系數(shù)。由幾率流密度定義 （三維情況為） 計(jì)算出 反射系數(shù)和透射系數(shù)之和為1. * 證明下列三個(gè)定理解：（a） 證：假設(shè)在定態(tài)解把實(shí)數(shù)改為復(fù)數(shù)，則若在時(shí)刻，波函數(shù)是歸一化的，即 在以后時(shí)刻 所以要求在任何時(shí)候都有必須有，即必須為實(shí)數(shù)。（b）設(shè)滿足定態(tài)薛定諤方程 把這個(gè)式子取復(fù)共軛，注意到是實(shí)的，得到 顯然和是同一薛定諤方程的解，所以它們的線性疊加 或也是同一薛定諤方程的解。顯然是實(shí)函數(shù)，所以一維定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為實(shí)函數(shù)。（c）對(duì)進(jìn)行空間反演，得到如果勢(shì)能是偶函數(shù)，則有 因此和是同一薛定諤方程的解，所以它們的線性疊加 也是同一薛定諤方程的解。，所以當(dāng)勢(shì)能是偶函數(shù)，定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為有確定宇稱的解。* 解：如果，那么和它的二次導(dǎo)數(shù)有同樣的符號(hào)。如果是正值，它將一直增加，這與我們，的要求不符，導(dǎo)致函數(shù)是不可歸一化的。如果是負(fù)值，它將一直減少（絕對(duì)值在增大），這同樣與我們，的要求不符，導(dǎo)致函數(shù)是不可歸一化的。我們還可以從另一個(gè)方面討論這個(gè)問(wèn)題。設(shè)是定態(tài)薛定諤方程的一個(gè)歸一化解，我們有 在經(jīng)典力學(xué)中我們同樣有，一個(gè)粒子在一個(gè)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的總能量為動(dòng)能加勢(shì)能，因?yàn)閯?dòng)能，所以總能勢(shì)能勢(shì)能最小值。如果總能勢(shì)能最小值，將意味著動(dòng)能為負(fù)值，這顯然是不可能的。在量子力學(xué)中，如果，則意味著動(dòng)能的期待值為負(fù)值，或的期待值為負(fù)值。這對(duì)歸一化的解是不可能的。 *解：(a) 利用哈密頓本征函數(shù)的正交歸一性 所以 (b) 代入 并令 (c) 時(shí) 完成積分得到 (以為中心的振蕩)（d）由動(dòng)量期待值與坐標(biāo)期待值之間的關(guān)系（e）對(duì)測(cè)量能量，得到的幾率為1/2,得到的幾率為1/2.，這個(gè)幾率同時(shí)刻是一樣的，也就是說(shuō)不隨時(shí)間變化，這是能量守恒的體現(xiàn)。為什么會(huì)隨時(shí)間變化,而不隨時(shí)間變化?因?yàn)槭枪茴D算苻的本征函數(shù), , 干涉項(xiàng)由于本征函數(shù)的正交性,結(jié)果為零。但是對(duì)算苻,干涉項(xiàng)一般不為零 (與, 與一般不會(huì)正交)*習(xí)題2..7 解：（a）的圖形為歸一化波函數(shù) 所以 （b）一維無(wú)限深勢(shì)阱的定態(tài)波函數(shù)為 把初始波函數(shù)用定態(tài)展開(kāi) 其中展開(kāi)系數(shù)為 利用積分公式 可以求出 所以 （ｃ）測(cè)量能量得到結(jié)果為的幾率是（d）其中利用了級(jí)數(shù)求和公式（這些公式可由函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式得到，可在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查到）
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