線性回歸方程——非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程(已修改)
2025-08-17 15:25 本頁面
【正文】 線性回歸方程——非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程例1．(2015高考全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)xi和年銷售量yii=1,2,?,8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. xyw5631469表中wi=xi ，w =18 i=18wi．（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+dx，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z= ，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題：（i）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2)，…，(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：β=i=1n(uiu)(viv)i=1n(uiu)2，α=vβu.【答案】(Ⅰ)y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；(Ⅱ)y=+68x；(Ⅲ)(i)答案見解析；(ii).【解析】（I）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.（II）令w=x，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于d=i=18(wiw)(yiy)i=18(wiw)2==68，∴c=ydw=563?68=， ∴y關(guān)于w的線性回歸方程為y=+68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y=+68x.（III）(ⅰ)由（II）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y=+6849=，年利潤z的預(yù)報(bào)值為z==. （ⅱ）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值z(mì)=(+68x)x=x++，所以當(dāng)x==，即x=，z取得最大值. ，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.例2．某地級(jí)市共有20
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