線(xiàn)性代數(shù)第四章齊次線(xiàn)性方程組(已修改)
2025-08-17 10:50 本頁(yè)面
【正文】 第五節(jié)齊次線(xiàn)性方程組 一． 齊次線(xiàn)性方程組 ()有非零解的充要條件 二． 齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì) 三． 基礎(chǔ)解系 四． 解的結(jié)構(gòu) 五． 練習(xí)題 ,][A nsija ??系數(shù)矩陣02211 ???? nnxxx ??? ?1. 齊次線(xiàn)性方程組 ()有非零解的充要條件 或 向量形式 ??????? ???? 01212111 nn xaxaxa ?02222121 ???? nn xaxaxa ? )(…………………………………… .02211 ???? nsnss xaxaxa ?,0)( ?AX又可表示為].[A 21 n??? ??其中。,)2( 21 線(xiàn)性相關(guān)n??? ?定理 8 以下命題等價(jià) (即互為充要條件 ): (1) AX=0() 有非零解 。 。},{)3( 21 nn ???? ?秩(4) 秩 An. 推論 ： 齊次線(xiàn)性方程組 () 只有零解 ? ?r A n??證明 由矩陣、向量的運(yùn)算、 于是 , 以上 4個(gè)命題相互等價(jià) . (2)3)(4)(3)(2)(1) 線(xiàn)性相關(guān)定義 ,得 (1)推 (2), 2. 齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì) （可推廣至有限多個(gè)解） (解向量的和 ,數(shù)乘仍是 解 ) 性質(zhì) 1 ,)(0, 21 的解是若 ?AXXX.)(02211 的解是則 ??? AXXkXkx 證明 由題設(shè)知 ,0,0 21 ?? AXAX)( 2211 XkXkAAx ??則 2211 AXkAXk ?? ,0?.02211 的解是故 ??? AXXkXkx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 的解。也是( 4 . 2 )的任意線(xiàn)性組合2 ) 的解齊次線(xiàn)性方程組( 4 . 推論tttXkXkXkXXX??? ??221121,齊次線(xiàn)性方程組的解的集合 V稱(chēng)為齊次線(xiàn)方程組的解空間 (space of solution)。 3. 基礎(chǔ)解系 (1) 向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān) 。 (2) (3) AX=0 的任一解都可以由 線(xiàn)性表示。 則稱(chēng)向量組 (I)是齊次線(xiàn)性方程組 0AX ?的一個(gè) 基礎(chǔ)解系。 定義 12 設(shè) A是一個(gè) s n矩陣 , )(, 21 IXXX t? 如果 : 都是 AX=0的解； )(, 21 IXXX t?中的每個(gè)向量tXXX , 21 ?上頁(yè) 下頁(yè) 返回 ? ? ,,,是任意常數(shù)。其中為( 4 . 2 ) 的通解。稱(chēng)間) 就是解空( 4 . 2 ) 的解集合(( 4 . 2 ) 的解，所以任意線(xiàn)性組合是性組合，又基礎(chǔ)解系的是基礎(chǔ)解系的一個(gè)線(xiàn)則( 4 . 2 ) 的任意解礎(chǔ)解系，是( 4 . 2 ) 的一個(gè)基若tttttttkkkXkXkXkPkkkXkXkXkSXXX?????21221121221121????????上頁(yè) 下頁(yè) 返回 0。=問(wèn)題的同解方程組B X得到，初等行變換化簡(jiǎn)：
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