排列組合基本知識(已修改)
2025-08-17 08:17 本頁面
【正文】 基本知識排列與元素的順序有關，組合與順序無關．如231與213是兩個排列，2＋3＋1的和與2＋1＋3的和是一個組合． (一)兩個基本原理是排列和組合的基礎 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2m3…mn種不同的方法． 這里要注意區(qū)分兩個原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理． 這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來． (二)排列和排列數(shù) (1)排列：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 從排列的意義可知，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否相同的方法． (2)排列數(shù)公式：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列 ,當m＝n時，為全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…321＝n！ (三)組合和組合數(shù) (1)組合：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合． (2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個 這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的． 一、排列組合部分是中學數(shù)學中的難點之一，原因在于 (1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學模型，需要較強的抽象思維能力(2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯(lián)詞和量詞)準確理解； (3)計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大； (4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。 二、兩個基本計數(shù)原理及應用 (1)加法原理和分類計數(shù)法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏
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