【正文】 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 數(shù)字圖象處理 北京大學(xué)計(jì)算機(jī)研究所 陳曉鷗 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 ? 傅立葉變換導(dǎo)言 – 理論基礎(chǔ)、連續(xù)與離散的傅立葉變換 ? 二維傅立葉變換特性 – 可分離性、周期與共軛對(duì)稱、平移性、 – 旋轉(zhuǎn)特性、線性與相似性 、均值性、 – 拉普拉斯、卷積與相關(guān) ? 快速傅立葉變換 – FFT算法 、逆向 FFT算法、算法實(shí)現(xiàn) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 傅立葉變換導(dǎo)言 – 理論基礎(chǔ) – 連續(xù)與離散的傅立葉變換 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ? 理論基礎(chǔ) – 線性系統(tǒng) – 卷積與相關(guān) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ?線性系統(tǒng) – 系統(tǒng) 的定義： 接受一個(gè)輸入，并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實(shí)體。 系統(tǒng)的輸入是一個(gè)或兩個(gè)變量的函數(shù)，輸出 是相同變量的另一個(gè)函數(shù)。 系統(tǒng) x(t)輸入 y(t)輸出 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ?線性系統(tǒng) – 線性系統(tǒng) 的定義： 對(duì)于某特定系統(tǒng)，有： x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) 該系統(tǒng)是線性的當(dāng)且僅當(dāng)： x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t) 從而有： a*x1(t) a*y1(t) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ?線性系統(tǒng) – 線性系統(tǒng) 移不變性 的定義： 對(duì)于某線性系統(tǒng) ， 有： x(t) y(t) 當(dāng)輸入信號(hào)沿時(shí)間軸平移 T， 有： x(t T) y(t T) 則稱該線性系統(tǒng)具有移不變性 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ?卷積 – 卷積的定義 – 離散一維卷積 – 二維卷積的定義 – 離散二維卷積 – 相關(guān)的定義 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) – 卷積 的定義 ?對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入 f(t)和輸出 h(t)，如果有一個(gè)一般表達(dá)式，來說明他們的關(guān)系，對(duì)線性系統(tǒng)的分析，將大有幫助 ?卷積積分就是這樣的一般表達(dá)式 ? h(t) = ? g(t ?)f(?)d? 記為： h = g * f ? g(t)稱為 沖激響應(yīng)函數(shù) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) – 離散一維卷積 h(i) = f(i)*g(i) = ? f(j)g(ij) j – 二維卷積的定義 ? h(x,y) = f*g = ? ? f(u,v)g(x – u, y – v)dudv ? 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) – 離散二維卷積 h(x,y) = f*g = ? ? f(m,n)g(x – m, y – n) m n – 相關(guān)的定義 ? h(t) = ? g(t + ?)f(?)d? 記為： y = g ? x ? 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 ?連續(xù)與離散的傅立葉變換 – 一維連續(xù)傅立葉變換 – 二維連續(xù)傅立葉變換 – 離散傅立葉變換 – 離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 一維連續(xù)傅立葉變換：定義 設(shè) f(x)為實(shí)變量 x的連續(xù)函數(shù) ， f(x)的 傅立葉變換 表示為 F{f(x)},定義為： ? F{f(x)} = F(u) = ? f(x)exp(j2?ux)dx 其中 j2 = 1 ? 如果給定 F(u),f(x)可以由 傅立葉逆變換 得到： F{F(u)} = f(x) = ? F(u)exp(j2?ux)du 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 一維連續(xù)傅立葉變換：幾個(gè)概念 假設(shè)函數(shù) f(x)為實(shí)函數(shù) 。 但一個(gè)實(shí)函數(shù)的傅立葉變換可能為復(fù)函數(shù)： F(u) = R(u) + jI(u) （ 1） f(x)的傅立葉 模 記為： |F(u)| |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 （ 2） f(x)的傅立葉 模平方 記為： P(u) P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 一維連續(xù)傅立葉變換：幾個(gè)概念 （ 3） f(x)的傅立葉 相位 記為： ?(u) ?(u) = tan1 (I(u) / R(u)) （ 4） 傅立葉變換中的變量 u通常稱為 頻率變量 這個(gè)名稱源于尤拉公式中的指數(shù)項(xiàng) exp[j2?ux] = cos2?ux jsin2?ux 如果把傅立葉變換的積分解釋為離散項(xiàng)的和 ，則易推出 F(u)是一組 sin和 cos函數(shù)項(xiàng)的無限和 ， 其中 u的每個(gè)值決定了其相應(yīng) cos, sin函數(shù)對(duì)的頻率 。 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 二維連續(xù)傅立葉變換 如果 f(x,y)連續(xù)可積 ， 并且 F(u,v)可積 ，則存在以下傅立葉變換對(duì) ， 其中 u,v為頻率變量： ? F{f(x,y)}=F(u,v)=??f(x,y)exp[j2?(ux+vy)]dxdy ? ? F{F(u,v)}=f(x,y)=??F(u,v)exp[j2?(ux+vy)]dudv ? 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 二維連續(xù)傅立葉變換 二維傅立葉模 、 相位和模平方分別為： 模： |F(u,v)| = [R2(u,v) + I2(u,v)]1/2 相位： ? (u,v) = tan1 (I(u,v) / R(u,v)) 模平方： P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換 假設(shè)連續(xù)函數(shù) f(x),通過取 N個(gè) ?x單位的采樣點(diǎn) ， 被離散化為一個(gè)序列： {f(x0), f(x0+?x) , f(x0+2?x), … ,f(x0+[N–1]? x