高一數(shù)學(xué)平面向量的概念及線性運(yùn)算(已修改)
2025-11-22 09:01 本頁面
【正文】 第 1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 59～ 60頁 ) 1． 向量的有關(guān)概念 (1)向量： 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量 ， 向量的大小叫做向量的 長度 (或稱 模 )． (2)零向量： 長度為 0的向量叫做零向量 ， 其方向是任意的 ． (3)單位向量： 長度等于 1個(gè)單位的向量 ． (4)平行向量： 方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量 ， 平行向量又叫做 共線 向量 ，任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上 ． 規(guī)定： 0與任一向量 平行 ． (5)相等向量： 長度 相等 且方向 相同 的向量 ． (6)相反向量： 與 a長度 相等 ， 方向 相反 的向量 ， 叫做 a的相反向量 ． 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 2． 向量的加法運(yùn)算及其幾何意義 (1)三角形法則： 已知非零向量 a、 b， 在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A， 作 AB―→ ＝ a， BC―→ ＝b， 則向量 AC―→ 叫做 a與 b的 和 ， 記作 a＋ b， 即 a＋ b＝ AB―→ ＋ BC―→ ＝ AC―→ ，這種求向量和的方法 ， 稱為向量加法的 三角形法則 ． (2)平行四邊形法則： 以同一點(diǎn) O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量 a、 b為鄰邊作 ?OACB， 則以 O為起點(diǎn)的對(duì)角線 OC―→ 就是 a與 b的和 ， 這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的 平行四邊形法則 ． (3)向量加法的幾何意義： 從法則可以看出 ， 如圖所示 ． 3． 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 (1)定義： a－ b＝ a＋ (－ b)， 即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的 相反向量 ． (2)如圖 ， AB―→ ＝ a， AD―→ ＝ b， 則 DB―→ ＝ a－ b. ① 兩個(gè)向量的和與差仍是向量 ， 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算 ，兩個(gè)向量的差也可用平行四邊形法則及三角形法則求得 ． ② 由向量加 、 減法的幾何意義可得向量不等式： ||a|－ |b||≤|a177。 b|≤|a|＋ |b|， 用這個(gè)不等式可以解決模的最值問題 ． ③ 三角形中線公式：若 A為 △ OBC中 BC邊的中點(diǎn) ， 如圖所示 ， 質(zhì)疑探究 1： 你能給出 |a＋ b|2＋ |a－ b|2＝ 2(|a|2＋ |b|2)(a， b不共線 )的幾何解釋嗎 ？ 提示： 幾何意義是 “ 平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于它的四條邊的平方和 ” ． 4． 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 (1)定義：實(shí)數(shù) λ與向量 a的積是一個(gè)向量 ， 記作 λa， 它的長度與方向規(guī)定如下： ① |λa|＝ |λ||a|； ② 當(dāng) λ＞ 0時(shí) ， λa的方向與 a的方向 相同 ；當(dāng) λ＜ 0時(shí) ， λa的方向與 a的方向 相反 ；當(dāng) λ＝ 0時(shí) ， λa＝ 0. (2)運(yùn)算律 設(shè) λ， μ是兩個(gè)實(shí)數(shù) ， 則 ① λ(μa)＝ (λμ)a； ② (λ＋ μ)a＝ λa＋ μa； ③ λ(a＋ b)＝ λa＋ λb. (3)兩個(gè)向量共線定理： 向量 a(a≠0)與 b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) λ， 使 b＝ λa. (1)λa的幾何意義就是把 a沿著與 a相同 (λ0)或相反 (λ0)的方向伸長(|λ|1)或縮短 (|λ|1)到原來的 |λ|倍 ． (2)當(dāng)兩個(gè)向量 a、 b不共線時(shí) ， k1a＋ k2b＝ 0的充要條件是 k1＝ k2＝ 0. 1． 給出下列命題： ① 向量 AB―→ 的長度與向量 BA―→ 的長度相等； ② 兩個(gè)非零向量 a與 b平行 ， 則 a與 b的方向相同或相反； ③ 兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量 ， 其終點(diǎn)必相同； ④ 兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量 ． 其中不正確命題的個(gè)數(shù)為 ( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析： 對(duì)于 ④ ， 在 △ ABC中 ， BA―→ 與 CA―→ 有公共終點(diǎn) A， 但不是共線向量 ， 故④ 錯(cuò) ． ①②③ 正確 ， 故選 A. 2． (2020年高考山東卷 )設(shè) P是 △ ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn) ， BC―→ ＋ BA―→ ＝ 2BP―→ ，則 ( B ) (A)PA―→ ＋ PB―→ ＝ 0 (B)PC―→ ＋ PA―→ ＝ 0 (C)PB―→ ＋ PC―→ ＝ 0 (D)PA―→ ＋ PB―→ ＋ PC―→ ＝ 0 解析： 因?yàn)?BC―→ ＋ BA―→ ＝ 2BP―→ ， 所以點(diǎn) P為線段 AC的中點(diǎn) ， 如圖 ，∴ PC―→ ＋ PA―→ ＝ 0， 故選 B. 3． 已知非零向量 a、 b不共線 ， 且 AB―→ ＝ a＋ 2b， BC―→ ＝－ 5a＋ 6b， CD―→ ＝ 7a－ 2b， 則一定共線的三點(diǎn)是 ( A ) (A)A、 B、 D (B)A、 B、 C (C)B、 C、 D (D)A、 C、 D 解析： ∵ BC―→ ＋ CD―→ ＝ 2a＋ 4b＝ 2AB―→ ＝ BD―→ ， ∴ AB―→ 與 BD―
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