【正文】 全國(guó)第二屆部分高校研究生數(shù)模競(jìng)賽題 目 城市交通管理中的出租車規(guī)劃 摘 要：本文通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法解決了城市交通管理中的出租車規(guī)劃問(wèn)題。在問(wèn)題一上，首先，我們利用阻滯增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)此城市未來(lái)經(jīng)濟(jì)人口發(fā)展情況，然后使用增長(zhǎng)率法和重力模型法，預(yù)測(cè)居民的出行強(qiáng)度和出行總量，接著結(jié)合居民消費(fèi)能力的預(yù)測(cè)模型，利用層次分析法建立乘坐出租車人口預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)出該城市未來(lái)二十年乘坐出租車人口的數(shù)量。在問(wèn)題二的解決上，運(yùn)用線性規(guī)劃模型,結(jié)合類比城市的城區(qū)面積、居民消費(fèi)能力及乘坐出租車人口數(shù)據(jù)，與實(shí)際調(diào)查的出租車數(shù)據(jù)相比，計(jì)算出影響出租車數(shù)量因素的權(quán)重，建立該市出租車數(shù)量的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。在問(wèn)題三上，引入滿意度函數(shù)的概念，利用滿意度函數(shù)建立司機(jī)和市民都滿意的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合約束條件建立非線性規(guī)劃模型，通過(guò)lingo軟件求出油價(jià)變化前后的最優(yōu)解。在數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理方面，采用城市交通規(guī)劃中的數(shù)據(jù)調(diào)查解決方案，并結(jié)合數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，采集到建立模型所需的一系列數(shù)據(jù)。最后，我們以問(wèn)題一二三的求解結(jié)果為依據(jù)，建立新型城市出租車規(guī)劃解決方案，即“共用汽車”機(jī)制。我們衷心的希望這一機(jī)制的建立有助于該城市出租車問(wèn)題的解決。參賽密碼 （由組委會(huì)填寫） 參賽隊(duì)號(hào) 1319 城市交通管理中的出租車規(guī)劃最近幾年，出租車經(jīng)常成為居民、新聞媒體議論的話題。某城市居民普遍反映出租車價(jià)格偏高，而另一方面，出租車司機(jī)卻抱怨勞動(dòng)強(qiáng)度大，收入相對(duì)來(lái)說(shuō)偏低，甚至發(fā)生出租車司機(jī)罷運(yùn)的情況，這反映出租車市場(chǎng)管理存在一定問(wèn)題，整個(gè)出租車行業(yè)不景氣，長(zhǎng)此以往將影響社會(huì)穩(wěn)定，值得關(guān)注。本文所研究的城市在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)，規(guī)模會(huì)不斷擴(kuò)大，人口會(huì)不斷增長(zhǎng)，人民生活水平將不斷提高，對(duì)出租車的需求也會(huì)不斷變化。我們?cè)谶@里需要解決的問(wèn)題有以下五個(gè)：?jiǎn)栴}一：考慮以上因素，結(jié)合該城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展和自身特點(diǎn)，類比國(guó)內(nèi)外城市情況，預(yù)測(cè)該城市居民出行強(qiáng)度和出行總量，同時(shí)進(jìn)一步給出該城市當(dāng)前與今后若干年乘坐出租車人口的預(yù)測(cè)模型。此問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)定性與定量結(jié)合的建模問(wèn)題。問(wèn)題二：給出該城市出租車最佳數(shù)量預(yù)測(cè)模型。我們?cè)谶@里考慮運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)的知識(shí)。問(wèn)題三：按油價(jià)調(diào)價(jià)前后（），分別討論是否存在能夠使得市民與出租車司機(jī)雙方都滿意的價(jià)格調(diào)整方案。此問(wèn)題的解決需要我們從雙目標(biāo)最優(yōu)化的角度來(lái)考慮。問(wèn)題四：本題給出的數(shù)據(jù)的采集是否合理，如有不合理之處，請(qǐng)你給出更合理且實(shí)際可行的數(shù)據(jù)采集方案。對(duì)于此問(wèn)題，我們將在其他五個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中得到相應(yīng)的答案。問(wèn)題五：站在市公用事業(yè)管理部門的立場(chǎng)上考慮出租車規(guī)劃問(wèn)題，并寫出解決方案。我們?cè)谶@里將結(jié)合以上四個(gè)問(wèn)題的求解結(jié)果，建立一個(gè)“共用汽車”機(jī)制的出租車規(guī)劃模型。l 可支配收入和生活消費(fèi)支出是影響城市居民的消費(fèi)能力的決定性因素。l 假設(shè)未來(lái)的城區(qū)面積不變，但人均居住面積將隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展擴(kuò)大。l 此城市的城區(qū)結(jié)構(gòu)在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生變化。符號(hào)說(shuō)明年年編號(hào)城市編號(hào)第個(gè)城市第年的乘坐出租車的人口數(shù)量(萬(wàn)人)第個(gè)城市第年的城區(qū)面積（平方千米)第個(gè)城市第年的人均可支配收入（元）第個(gè)城市第年的人均生活消費(fèi)支出（元）第個(gè)城市第年的出租車的消費(fèi)能力（元）第個(gè)城市第年的出租車數(shù)量（輛）第個(gè)城市第年應(yīng)有的出租車數(shù)量（輛）乘坐出租車的人口數(shù)量對(duì)出租車數(shù)量的影響系數(shù)（輛/萬(wàn)人）城區(qū)面積對(duì)出租車數(shù)量的影響系數(shù)（輛/平方千米）出租車的消費(fèi)能力對(duì)出租車數(shù)量的影響系數(shù)（輛/元） 問(wèn)題一的討論 出行強(qiáng)度與出行總量問(wèn)題 該城市社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展預(yù)測(cè)：(1) 人口總量預(yù)測(cè)模型的建立－阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)阻滯增長(zhǎng)模型又稱Logistic模型．Logistic模型有很廣的應(yīng)用。在此，人口增長(zhǎng)率函數(shù)可以表為 （1）其中、是根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定的常數(shù)。因子體現(xiàn)了對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。在此假設(shè)下指數(shù)增長(zhǎng)模型應(yīng)修改為： （2） 稱為阻滯增長(zhǎng)模型．此非線性微分方程可用分離變量法求解，結(jié)果為 （3）(2) 人口總量預(yù)測(cè)模型的求解 我們使用Logistic模型以及杭州，揚(yáng)州，佛山（記被研究的城市，杭州，揚(yáng)州，佛山的編號(hào)分別為），全國(guó)平均水平的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，結(jié)果如下： 表1：類比城市人口數(shù)據(jù)城市人口上限固定增長(zhǎng)率杭州1928揚(yáng)州1541佛山1245全國(guó)平均150201然后利用這些城市以及全國(guó)的平均數(shù)據(jù)結(jié)合給出的2004，2010，2020年此城市的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸擬合該城市的和參數(shù)。求解參數(shù)的多城市線性擬合模型為 （4）擬合結(jié)果為： 所以此城市的人口增長(zhǎng)模型為：利用此模型結(jié)合MATLAB工具（）可以預(yù)測(cè)未來(lái)二十年此城市人口數(shù)據(jù)，其結(jié)果見(jiàn)附錄中“表1”。(3) 分類人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型的建立 分類人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型為： （5） 其中，代表人口密度（假設(shè)不變）； 代表即期的居住面積；代表居住面積增長(zhǎng)率。(4) 分類人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型求解a. 按照人口屬性分類預(yù)測(cè)（即按第一類和第二類進(jìn)行劃分）我們根據(jù)中國(guó)十個(gè)城市居住面積增長(zhǎng)率的加權(quán)平均值可以擬合此城市的居住面積增長(zhǎng)率為 ，其他參數(shù)如下表所示： 表2：參數(shù)表2004年度基本數(shù)據(jù)人口密度即期居住面積居住面積增長(zhǎng)率第一類人口第二類人口22根據(jù)以上分類人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型可以使用MATLAB預(yù)測(cè)出按照人口屬性分類的未來(lái)二十年的分類人口數(shù)量（萬(wàn)人），（），預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表2”。b. 中心邊緣分類預(yù)測(cè)（即按中心區(qū)和邊緣區(qū)進(jìn)行劃分）不變，其他參數(shù)如下表所示： 表3：參數(shù)表2004年度基本數(shù)據(jù)人口密度即期居住面積居住面積增長(zhǎng)率中心區(qū)邊緣區(qū)所以未來(lái)二十年的中心邊緣分類人口數(shù)量（萬(wàn)人），也可以通過(guò)分類人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)出（），其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表3”。c. 六個(gè)區(qū)的常駐人口分類預(yù)測(cè)（即按照題目所示的六個(gè)交通小區(qū)進(jìn)行劃分） 這里要提到的是，要將人口總量預(yù)測(cè)模型計(jì)算出來(lái)的值按照人口屬性分類預(yù)測(cè)方法先計(jì)算出第一類的人口總量預(yù)測(cè)值，然后再乘以常駐人口所占有的比例得到模型中的。六個(gè)區(qū)的人口比例估計(jì)為：不變，其他參數(shù)如下表所示： 表4：參數(shù)表2004年度基本數(shù)據(jù)人口密度即期居住面積居住面積增長(zhǎng)率1區(qū)2區(qū)3區(qū)4區(qū)5區(qū)6區(qū)由人口屬性來(lái)分類的第一類人口數(shù)據(jù)，乘以常駐人口的相應(yīng)比例，可以得到未來(lái)二十年常駐人口數(shù)量（萬(wàn)人）預(yù)測(cè)值，其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表4”。在此基礎(chǔ)之上，六個(gè)區(qū)分類預(yù)測(cè)數(shù)量，通過(guò)分類人口數(shù)量（萬(wàn)人）預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)出（）。其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表5”?，F(xiàn)作圖如下：第一區(qū) 實(shí)線 第二區(qū) 點(diǎn)劃線 ● ●第三區(qū) 虛線 ……第四區(qū) 雙虛線－ －第五區(qū) 圈線 o o第六區(qū) 星線 * * 圖1：六小區(qū)人口預(yù)測(cè) 六小區(qū)出行總量及出行強(qiáng)度1預(yù)測(cè)：目前世界上的城市居民出行總量預(yù)測(cè)方法主要有：家庭類別生成模型法，線性回歸模型法，非線性回歸模型法等等。(1) 六小區(qū)出行總量增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)模型建立這里我們采用國(guó)內(nèi)通用的增長(zhǎng)率法來(lái)預(yù)測(cè)居民出行總量。增長(zhǎng)率法的模型如下所示： （6）其中， 代表第個(gè)分類的第個(gè)增長(zhǎng)率指標(biāo)；選取兩個(gè)增長(zhǎng)率指標(biāo)，如下所示：l 代表人口增長(zhǎng)率，即第個(gè)分類中的當(dāng)前預(yù)測(cè)人口數(shù)目/2004年人口數(shù)目。l 代表交通工具增長(zhǎng)率，即第個(gè)分類當(dāng)前交通工具數(shù)目/2004年交通工具數(shù)目。 下面，我們分別計(jì)算和。首先從小區(qū)的分類人口預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)中，得到第個(gè)小區(qū)中的當(dāng)前預(yù)測(cè)人口數(shù)目，我們將這些數(shù)據(jù)除以2004年人口數(shù)目的基期數(shù)據(jù)，可以得到未來(lái)二十年6個(gè)小區(qū)的預(yù)測(cè)值。其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表6”。接著，我們需要預(yù)測(cè)此城市交通工具數(shù)目。我們?cè)谶@里利用中國(guó)十個(gè)中小城市交通工具平均增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)加權(quán)平均出此城市在2004年度交通工具的平均增長(zhǎng)率= 。 由于小區(qū)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)狀況基本相同，故可認(rèn)為每個(gè)分類的出租車的自然增長(zhǎng)率相同，據(jù)此估計(jì)未來(lái)二十年6個(gè)小區(qū)的交通工具平均增長(zhǎng)率（與2004年比較出的結(jié)果）（）。其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表7”。和相乘得居民出行總量的綜合增長(zhǎng)率。據(jù)此可以預(yù)測(cè)未來(lái)二十年6個(gè)小區(qū)的居民出行增長(zhǎng)率。（），其預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附錄中“表8”。(2) 六小區(qū)出行總量增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)模型求解根據(jù)題目所提供的“城市各區(qū)居民出行全方式OD分布表”，將2004年各個(gè)小區(qū)的合計(jì)的出行總量值與出行增長(zhǎng)率相乘，得到未來(lái)二十年6個(gè)小區(qū)的居民出行總量。（）預(yù)測(cè)6個(gè)小區(qū)的居民出行總量結(jié)果見(jiàn)附錄中“表9”。(3) 預(yù)測(cè)六小區(qū)出行強(qiáng)度1模型及其求解從上面得到了居民出行總量預(yù)測(cè)結(jié)果之后，將出行總量數(shù)據(jù)，除以每個(gè)小區(qū)的人口預(yù)測(cè)值，從而可以得到未來(lái)二十年6個(gè)小區(qū)的居民出行強(qiáng)度1。預(yù)測(cè)6個(gè)小區(qū)的居民出行強(qiáng)度1結(jié)果見(jiàn)附錄中“表10”。 六小區(qū)出行分布及出行強(qiáng)度2的預(yù)測(cè)：(1) 六小區(qū)出行分布預(yù)測(cè)模型建立目前世界上的城市居民出行分布的預(yù)測(cè)方法主要有：增長(zhǎng)系數(shù)法，重力模型法，介入機(jī)會(huì)模型（Intervening Opportunity Method）法，最大熵模型（Entropy Model）等等。 我們?cè)谶@里分別使用兩種居民出行分布的預(yù)測(cè)方法即：增長(zhǎng)系數(shù)法和重力模型法，預(yù)測(cè)城市居民出行分布情況，并進(jìn)行比較。a. 增長(zhǎng)系數(shù)法模型國(guó)內(nèi)主要采用增長(zhǎng)系數(shù)法來(lái)預(yù)測(cè)城市居民出行分布。主要的計(jì)算步驟如下：第1步 令計(jì)算次數(shù)；第2步 給出現(xiàn)在OD表中， ， 。第3步 求出各小區(qū)發(fā)生與吸引交通量的增長(zhǎng)系數(shù)。這里的第i個(gè)區(qū)間分布交通量的增長(zhǎng)率通常使用弗拉塔法(Frator)計(jì)算，即使用出行發(fā)生量誤差修正量和出行吸引量誤差修正量的組合平均值來(lái)估計(jì)增長(zhǎng)系數(shù)：。 第4步 求第m+1次近似值。第5步 收斂判定：，， 。若滿足上述條件，結(jié)束計(jì)算；反之，令m=m+1，返回到第2步。 b. 重力模型法（Gravity Method）原理是模擬物理學(xué)中的牛頓的萬(wàn)有引力定律，即兩物體間的引力與兩物體的質(zhì)量之積成正比，與它們之間距離的平方成反比。 （7）其中：小區(qū)的發(fā)生與吸引交通量；：小區(qū)間的距離或一般費(fèi)用； 通常稱為潛能系數(shù)。 在現(xiàn)狀OD表已知的條件下，都可以用最小二乘法求得。對(duì)上式取對(duì)數(shù)： （8） 若令，則有 （9） 對(duì)一般情況，k,α,b,g都為未知數(shù)，用最小二乘法求得。即，其中，為第次計(jì)算時(shí)，、區(qū)的分布交通量。交通阻力曲線的幾種形式：指數(shù)函數(shù)：　　　　　 冪函數(shù)：　　　　　 組合函數(shù)：　　 　　　 　　　　　　　　　 　計(jì)算方法：以冪指數(shù)交通阻抗為例。 第1步 令m=0，m為計(jì)算次數(shù)；第2步 給出；第3步 令；第4步 求出（出行調(diào)整系數(shù)）；第5步 收斂判定：若下式滿足，則結(jié)束計(jì)算；反之，令m+1=m，返回第4步重復(fù)計(jì)算。 。c. 兩種方法比較及其模型求解結(jié)果通過(guò)實(shí)際計(jì)算過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)在此問(wèn)題之上，重力模型法的算法收斂得更快，通過(guò)靈敏性測(cè)試發(fā)現(xiàn)重力模型法結(jié)果較穩(wěn)定，重力模型法求解結(jié)果更加合理。 d. 六小區(qū)出行分布預(yù)測(cè)模型求解按照這種模型我們可以求出此城市的居民出行全方式OD分布預(yù)測(cè)。附錄中“表11”列出了2005年居民出行全方式OD分布總量預(yù)測(cè)結(jié)果。由2005年