【正文】 全國第二屆部分高校研究生數(shù)模競賽題 目 城市交通管理中的出租車規(guī)劃 摘 要：本文通過數(shù)學(xué)建模的方法解決了城市交通管理中的出租車規(guī)劃問題。在問題一上，首先，我們利用阻滯增長模型預(yù)測此城市未來經(jīng)濟人口發(fā)展情況，然后使用增長率法和重力模型法，預(yù)測居民的出行強度和出行總量，接著結(jié)合居民消費能力的預(yù)測模型，利用層次分析法建立乘坐出租車人口預(yù)測模型，并預(yù)測出該城市未來二十年乘坐出租車人口的數(shù)量。在問題二的解決上，運用線性規(guī)劃模型,結(jié)合類比城市的城區(qū)面積、居民消費能力及乘坐出租車人口數(shù)據(jù)，與實際調(diào)查的出租車數(shù)據(jù)相比，計算出影響出租車數(shù)量因素的權(quán)重，建立該市出租車數(shù)量的動態(tài)數(shù)學(xué)模型。在問題三上，引入滿意度函數(shù)的概念，利用滿意度函數(shù)建立司機和市民都滿意的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合約束條件建立非線性規(guī)劃模型，通過lingo軟件求出油價變化前后的最優(yōu)解。在數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理方面，采用城市交通規(guī)劃中的數(shù)據(jù)調(diào)查解決方案，并結(jié)合數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，采集到建立模型所需的一系列數(shù)據(jù)。最后，我們以問題一二三的求解結(jié)果為依據(jù)，建立新型城市出租車規(guī)劃解決方案，即“共用汽車”機制。我們衷心的希望這一機制的建立有助于該城市出租車問題的解決。參賽密碼 （由組委會填寫） 參賽隊號 1319 城市交通管理中的出租車規(guī)劃最近幾年，出租車經(jīng)常成為居民、新聞媒體議論的話題。某城市居民普遍反映出租車價格偏高，而另一方面，出租車司機卻抱怨勞動強度大，收入相對來說偏低，甚至發(fā)生出租車司機罷運的情況，這反映出租車市場管理存在一定問題，整個出租車行業(yè)不景氣，長此以往將影響社會穩(wěn)定，值得關(guān)注。本文所研究的城市在未來一段時間內(nèi)，規(guī)模會不斷擴大，人口會不斷增長，人民生活水平將不斷提高，對出租車的需求也會不斷變化。我們在這里需要解決的問題有以下五個：問題一：考慮以上因素，結(jié)合該城市經(jīng)濟發(fā)展和自身特點，類比國內(nèi)外城市情況，預(yù)測該城市居民出行強度和出行總量，同時進一步給出該城市當(dāng)前與今后若干年乘坐出租車人口的預(yù)測模型。此問題實際上是一個定性與定量結(jié)合的建模問題。問題二：給出該城市出租車最佳數(shù)量預(yù)測模型。我們在這里考慮運用運籌學(xué)的知識。問題三：按油價調(diào)價前后（），分別討論是否存在能夠使得市民與出租車司機雙方都滿意的價格調(diào)整方案。此問題的解決需要我們從雙目標(biāo)最優(yōu)化的角度來考慮。問題四：本題給出的數(shù)據(jù)的采集是否合理，如有不合理之處，請你給出更合理且實際可行的數(shù)據(jù)采集方案。對于此問題，我們將在其他五個問題的解決過程中得到相應(yīng)的答案。問題五：站在市公用事業(yè)管理部門的立場上考慮出租車規(guī)劃問題，并寫出解決方案。我們在這里將結(jié)合以上四個問題的求解結(jié)果，建立一個“共用汽車”機制的出租車規(guī)劃模型。l 可支配收入和生活消費支出是影響城市居民的消費能力的決定性因素。l 假設(shè)未來的城區(qū)面積不變，但人均居住面積將隨著經(jīng)濟發(fā)展擴大。l 此城市的城區(qū)結(jié)構(gòu)在未來一段時間內(nèi)不會發(fā)生變化。符號說明年年編號城市編號第個城市第年的乘坐出租車的人口數(shù)量(萬人)第個城市第年的城區(qū)面積（平方千米)第個城市第年的人均可支配收入（元）第個城市第年的人均生活消費支出（元）第個城市第年的出租車的消費能力（元）第個城市第年的出租車數(shù)量（輛）第個城市第年應(yīng)有的出租車數(shù)量（輛）乘坐出租車的人口數(shù)量對出租車數(shù)量的影響系數(shù)（輛/萬人）城區(qū)面積對出租車數(shù)量的影響系數(shù)（輛/平方千米）出租車的消費能力對出租車數(shù)量的影響系數(shù)（輛/元） 問題一的討論 出行強度與出行總量問題 該城市社會經(jīng)濟發(fā)展預(yù)測：(1) 人口總量預(yù)測模型的建立－阻滯增長模型(Logistic模型)阻滯增長模型又稱Logistic模型．Logistic模型有很廣的應(yīng)用。在此，人口增長率函數(shù)可以表為 （1）其中、是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù)。因子體現(xiàn)了對人口增長的阻滯作用。在此假設(shè)下指數(shù)增長模型應(yīng)修改為： （2） 稱為阻滯增長模型．此非線性微分方程可用分離變量法求解，結(jié)果為 （3）(2) 人口總量預(yù)測模型的求解 我們使用Logistic模型以及杭州，揚州，佛山（記被研究的城市，杭州，揚州，佛山的編號分別為），全國平均水平的數(shù)據(jù)進行非線性擬合，結(jié)果如下： 表1：類比城市人口數(shù)據(jù)城市人口上限固定增長率杭州1928揚州1541佛山1245全國平均150201然后利用這些城市以及全國的平均數(shù)據(jù)結(jié)合給出的2004，2010，2020年此城市的數(shù)據(jù)進行線性回歸擬合該城市的和參數(shù)。求解參數(shù)的多城市線性擬合模型為 （4）擬合結(jié)果為： 所以此城市的人口增長模型為：利用此模型結(jié)合MATLAB工具（）可以預(yù)測未來二十年此城市人口數(shù)據(jù)，其結(jié)果見附錄中“表1”。(3) 分類人口數(shù)量預(yù)測模型的建立 分類人口數(shù)量預(yù)測模型為： （5） 其中，代表人口密度（假設(shè)不變）； 代表即期的居住面積；代表居住面積增長率。(4) 分類人口數(shù)量預(yù)測模型求解a. 按照人口屬性分類預(yù)測（即按第一類和第二類進行劃分）我們根據(jù)中國十個城市居住面積增長率的加權(quán)平均值可以擬合此城市的居住面積增長率為 ，其他參數(shù)如下表所示： 表2：參數(shù)表2004年度基本數(shù)據(jù)人口密度即期居住面積居住面積增長率第一類人口第二類人口22根據(jù)以上分類人口數(shù)量預(yù)測模型可以使用MATLAB預(yù)測出按照人口屬性分類的未來二十年的分類人口數(shù)量（萬人），（），預(yù)測結(jié)果見附錄中“表2”。b. 中心邊緣分類預(yù)測（即按中心區(qū)和邊緣區(qū)進行劃分）不變，其他參數(shù)如下表所示： 表3：參數(shù)表2004年度基本數(shù)據(jù)人口密度即期居住面積居住面積增長率中心區(qū)邊緣區(qū)所以未來二十年的中心邊緣分類人口數(shù)量（萬人），也可以通過分類人口數(shù)量預(yù)測模型，預(yù)測出（），其預(yù)測結(jié)果見附錄中“表3”。c. 六個區(qū)的常駐人口分類預(yù)測（即按照題目所示的六個交通小區(qū)進行劃分） 這里要提到的是，要將人口總量預(yù)測模型計算出來的值按照人口屬性分類預(yù)測方法先計算出第一類的人口總量預(yù)測值，然后再乘以常駐人口所占有的比例得到模型中的。六個區(qū)的人口比例估計為：不變，其他參數(shù)如下表所示： 表4：參數(shù)表2004年度基本數(shù)據(jù)人口密度即期居住面積居住面積增長率1區(qū)2區(qū)3區(qū)4區(qū)5區(qū)6區(qū)由人口屬性來分類的第一類人口數(shù)據(jù)，乘以常駐人口的相應(yīng)比例，可以得到未來二十年常駐人口數(shù)量（萬人）預(yù)測值，其預(yù)測結(jié)果見附錄中“表4”。在此基礎(chǔ)之上，六個區(qū)分類預(yù)測數(shù)量，通過分類人口數(shù)量（萬人）預(yù)測模型預(yù)測出（）。其預(yù)測結(jié)果見附錄中“表5”。現(xiàn)作圖如下：第一區(qū) 實線 第二區(qū) 點劃線 ● ●第三區(qū) 虛線 ……第四區(qū) 雙虛線－ －第五區(qū) 圈線 o o第六區(qū) 星線 * * 圖1：六小區(qū)人口預(yù)測 六小區(qū)出行總量及出行強度1預(yù)測：目前世界上的城市居民出行總量預(yù)測方法主要有：家庭類別生成模型法，線性回歸模型法，非線性回歸模型法等等。(1) 六小區(qū)出行總量增長率預(yù)測模型建立這里我們采用國內(nèi)通用的增長率法來預(yù)測居民出行總量。增長率法的模型如下所示： （6）其中， 代表第個分類的第個增長率指標(biāo)；選取兩個增長率指標(biāo)，如下所示：l 代表人口增長率，即第個分類中的當(dāng)前預(yù)測人口數(shù)目/2004年人口數(shù)目。l 代表交通工具增長率，即第個分類當(dāng)前交通工具數(shù)目/2004年交通工具數(shù)目。 下面，我們分別計算和。首先從小區(qū)的分類人口預(yù)測數(shù)據(jù)中，得到第個小區(qū)中的當(dāng)前預(yù)測人口數(shù)目，我們將這些數(shù)據(jù)除以2004年人口數(shù)目的基期數(shù)據(jù)，可以得到未來二十年6個小區(qū)的預(yù)測值。其預(yù)測結(jié)果見附錄中“表6”。接著，我們需要預(yù)測此城市交通工具數(shù)目。我們在這里利用中國十個中小城市交通工具平均增長率的數(shù)據(jù)加權(quán)平均出此城市在2004年度交通工具的平均增長率= 。 由于小區(qū)經(jīng)濟增長狀況基本相同，故可認(rèn)為每個分類的出租車的自然增長率相同，據(jù)此估計未來二十年6個小區(qū)的交通工具平均增長率（與2004年比較出的結(jié)果）（）。其預(yù)測結(jié)果見附錄中“表7”。和相乘得居民出行總量的綜合增長率。據(jù)此可以預(yù)測未來二十年6個小區(qū)的居民出行增長率。（），其預(yù)測結(jié)果見附錄中“表8”。(2) 六小區(qū)出行總量增長率預(yù)測模型求解根據(jù)題目所提供的“城市各區(qū)居民出行全方式OD分布表”，將2004年各個小區(qū)的合計的出行總量值與出行增長率相乘，得到未來二十年6個小區(qū)的居民出行總量。（）預(yù)測6個小區(qū)的居民出行總量結(jié)果見附錄中“表9”。(3) 預(yù)測六小區(qū)出行強度1模型及其求解從上面得到了居民出行總量預(yù)測結(jié)果之后，將出行總量數(shù)據(jù)，除以每個小區(qū)的人口預(yù)測值，從而可以得到未來二十年6個小區(qū)的居民出行強度1。預(yù)測6個小區(qū)的居民出行強度1結(jié)果見附錄中“表10”。 六小區(qū)出行分布及出行強度2的預(yù)測：(1) 六小區(qū)出行分布預(yù)測模型建立目前世界上的城市居民出行分布的預(yù)測方法主要有：增長系數(shù)法，重力模型法，介入機會模型（Intervening Opportunity Method）法，最大熵模型（Entropy Model）等等。 我們在這里分別使用兩種居民出行分布的預(yù)測方法即：增長系數(shù)法和重力模型法，預(yù)測城市居民出行分布情況，并進行比較。a. 增長系數(shù)法模型國內(nèi)主要采用增長系數(shù)法來預(yù)測城市居民出行分布。主要的計算步驟如下：第1步 令計算次數(shù)；第2步 給出現(xiàn)在OD表中， ， 。第3步 求出各小區(qū)發(fā)生與吸引交通量的增長系數(shù)。這里的第i個區(qū)間分布交通量的增長率通常使用弗拉塔法(Frator)計算，即使用出行發(fā)生量誤差修正量和出行吸引量誤差修正量的組合平均值來估計增長系數(shù)：。 第4步 求第m+1次近似值。第5步 收斂判定：，， 。若滿足上述條件，結(jié)束計算；反之，令m=m+1，返回到第2步。 b. 重力模型法（Gravity Method）原理是模擬物理學(xué)中的牛頓的萬有引力定律，即兩物體間的引力與兩物體的質(zhì)量之積成正比，與它們之間距離的平方成反比。 （7）其中：小區(qū)的發(fā)生與吸引交通量；：小區(qū)間的距離或一般費用； 通常稱為潛能系數(shù)。 在現(xiàn)狀OD表已知的條件下，都可以用最小二乘法求得。對上式取對數(shù)： （8） 若令，則有 （9） 對一般情況，k,α,b,g都為未知數(shù)，用最小二乘法求得。即，其中，為第次計算時，、區(qū)的分布交通量。交通阻力曲線的幾種形式：指數(shù)函數(shù)：　　　　　 冪函數(shù)：　　　　　 組合函數(shù)：　　 　　　 　　　　　　　　　 　計算方法：以冪指數(shù)交通阻抗為例。 第1步 令m=0，m為計算次數(shù)；第2步 給出；第3步 令；第4步 求出（出行調(diào)整系數(shù)）；第5步 收斂判定：若下式滿足，則結(jié)束計算；反之，令m+1=m，返回第4步重復(fù)計算。 。c. 兩種方法比較及其模型求解結(jié)果通過實際計算過程，我們發(fā)現(xiàn)在此問題之上，重力模型法的算法收斂得更快，通過靈敏性測試發(fā)現(xiàn)重力模型法結(jié)果較穩(wěn)定，重力模型法求解結(jié)果更加合理。 d. 六小區(qū)出行分布預(yù)測模型求解按照這種模型我們可以求出此城市的居民出行全方式OD分布預(yù)測。附錄中“表11”列出了2005年居民出行全方式OD分布總量預(yù)測結(jié)果。由2005年