【正文】 自適應(yīng)信號處理論文 基于 MATLAB 的自適應(yīng)濾波算法 研究 摘要 ： 自適應(yīng)濾波算法是自適應(yīng)濾波器設(shè)計的核心部分，本文主要介紹了 兩種算法： LMS 算法 和 DCT 變換。 LMS 算法是時域變換， DCT 是頻域變換， 文章采用 MATLAB 相關(guān)函數(shù) 實現(xiàn) 了 對信號變換 的仿真 ，并對這兩種 算法 進(jìn)行了一定的對比 。 關(guān)鍵詞 ： Matlab， LMS 算法， DCT 變換 引言 LMS 算法是自適應(yīng)濾波算法中最基本的算法，它包含了自適應(yīng)濾波的許多基本的概念，是其它許多算法的基礎(chǔ) ， 是實際中使用的最廣泛的一種算法。 LMS算法是在最陡下降法的基礎(chǔ)上導(dǎo) 出的，可以說 LMS 算法是最陡下降法的隨機實現(xiàn)。表 1 詳細(xì)地給出 LMS 算法，其中 x(n)為 n 時刻濾波器的輸入信號， w(n)為n 時刻的濾波器系數(shù)， y(n)為濾波器的輸出信號 ， d(n)為濾波器的期望信號， e(n)為濾波器的估計誤差 ， u 為更新步長 。 表 1 LMS 算法 1． 濾波（ Filtering）： T( ) ( ) ( )y n n n? wx 2． 誤差估計（ Error estimation）： ( ) ( ) ( )e n d n y n?? 3． 權(quán)值更新（ Tapweight update）： ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )n n e n n?? ? ?w w x 為了保證最陡下降法收斂，步長 ? 的取值決定于特征值最大的那個收斂模式 。max10 ? ??? 其中 max? 為特征值中的最大值。這必然導(dǎo)致其它收斂模式的收斂速度下降，輸入信號自相關(guān)矩陣 R 的特征值分散度在很大程度上影響了算法 的收斂性能 。 針對 LMS 算法存在特征值 分散度的問題，我們可以采用牛頓法來進(jìn)行克服，牛頓法使得濾波器各系數(shù)（各收斂模式）的收斂速度一致，與特征值分布無關(guān)，從根本上消除了最陡梯度下降法受特征值分布影響的缺陷。牛頓方法其實就是KL 變換域的最陡下降法， 由 于 KL 變換是最理想的正交變換，它依賴于自相關(guān)矩陣 R 特征矢量，統(tǒng)計特性不同的輸入信號有不同的 KL變換，所以很難在實際中使用。 因此我們可以 用常用的變換來替代 KL 變換，這樣就得到了 TDAF 算法。TDAF 就是變換域中的 LMS 算法，所以也稱為 TDLMS 算法。 詳細(xì)算法如下所示。 表 2 TDLMS 算法 1． 變換（ Transformation）： ( ) ( )T nn?x Tx 2． 濾波（ Filtering）： T( ) ( ) ( )TTy n n n? wx 3． 誤差估計（ Error estimation）： ( ) ( ) ( )e n d n y n?? 4． 功率估計（ Power estimation）： ,2? ()Tix n? , 22 ,? ( 1 ) (1 ) ( )Tix T inn?? ?? ? ? ? x 5． 權(quán)值更新（ Tapweight update）： , , ,2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )? ()TiT i T i T ixw n w n e n x nn???? ? ? ? TDAF 中的常用變換主要有 離散傅立葉變換（ DFT）、實數(shù)離散傅立葉變換（ RDFT）、離散哈特利變換（ DHT）、離散余弦變換（ DCT）和離散正弦變換（ DST）。 在這里 主要 研究 DCT 變換， DCT 變換是一種性能接近于最佳正交變換 KL變換的頻域變換，由于其相比離散余弦變換很多有快速算法，便于實現(xiàn)，所以經(jīng)常被信號處理和圖像處理使用，用于對信號和圖像進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。 DCT 變換 離散余弦變換（ Discrete Cosine Transform ，簡稱 DCT ） 變換 是一種與傅 立葉變換緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)運算。在傅立葉級數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)，那么其傅立葉級數(shù)中只包含余弦項，再將其離散化可導(dǎo)出余弦變換，因此稱之為離散余弦變換 。該變換有 八 種表達(dá)形式， 其中主要的四種 變換形式 如下圖 (1) 所示 。 圖 （ 1） 四種 DCT 變換形式 DCTI ： ? ? 201 11 ( 1 ) c o s 0 , . . . , 121Nkk N nnX x x x n k k NN ??? ? ??? ? ? ? ? ??????? DCTII ： 101c o s ( ) 0 , . . . , 12NknnX x n k k NN?????? ? ? ?????? DCTIII： 10 111c o s ( ) 0 , . . . , 122Nkn nX x x n k k NN?????? ? ? ? ?????? DCTIV： 1011c o s ( ) ( ) 0 , . . . , 122NknnX x n k k NN?????? ? ? ? ?????? 本文采用其中第二種來進(jìn)行討論。 一維 N 點 離散余弦 變換 (DCT)可表示為： 10( 2 1 )c o s 2Nk k nnnky C x N ????? ? 其中， xn 是輸入時域序列中的第 n 項， yk 是輸出頻域序列的第 k 項，系數(shù) Ck定義如下： 102 1 , 2 , ..., 1kNkCN k N? ??? ????? 一維 N 點離散余弦逆變換 (IDCT)可以表示為： 10( 2 1 )c o s 2Nn k knnkx C y N ????? ? MATLAB 仿真 實驗 DCT 變換對語音信號的壓縮 DCT 變換的 MATLAB 實現(xiàn)方法，基于 FFT 的快速算法 ， 這是通過 MATLAB 工具箱提供的 dct 和 idct 函數(shù)實現(xiàn)的 ，仿真結(jié)果如下 程序： t=0:1/1000:。x=sawtooth(2*pi*45*t)。 subplot(4,1,1)。plot(t,x)。title(39。原始信號 39。)。 y=dct(x)。 %DCT 變換輸出 subplot(4,1,2)。 plot(y)。title(39。DCT 輸出信號 39。)。 y1=y.*(abs(y))。 %將 DCT 結(jié)果中絕對值小于 的令為 0，相當(dāng)于壓 %縮了數(shù)據(jù)率 subplot(4,1,3)。plot(y1)。title(39。DCT 壓縮后的信號 39。)。 z=idct(y1)。 %DCT 反變換 subplot(4,1,4)。plot(t,z)。title(39。恢復(fù)的信號 39。)。 仿真結(jié)果圖： 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 . 1 8 0 . 2101原始信號0 50 100 150 200 250505DCT 輸出信號0 50 100 150 200 250505D C T 壓縮后的信號0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 . 1 8 0 . 2202恢復(fù)的信號 可以看出，當(dāng)波形數(shù)據(jù)做 DCT 變換后壓縮到原數(shù)據(jù)的 %左右時 ，根據(jù)壓縮信號重建的時域波形存在失真，但在工程上這樣的失真是允許的。在一定失真 度指標(biāo)下，通過 DCT 變換可以使數(shù)據(jù)得到很大程度的壓縮。 LMS 算法及 DCT 變換仿真 程序： length=1024*8。%設(shè)置信號長度 N=500。 a=zeros(1,length+N)。 for i=0:: if i==0 a=*cos(2*pi*i*(0:length+N1))。 else a=a+cos(2*pi*i*(0:length+N1))。%產(chǎn)生輸入信號 end end %%%%% LSM 算法 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% a=a39。 d=zeros(1,length+N)。 %期望信號初始為零 for i=0:: if i==0 d=d+.5*cos(2*pi*i*(0:length+N1))。 else d=d+cos(2*pi*i*(0:length+N1))。%產(chǎn)生期望信號 end end d=d39。 w=zeros(N,1)。 E=zeros(1,length)。 %誤差信號初始為零 u=。 %收斂因子 for i=1:length E(i)=d(i)a(i:i+N1)39。*w。 w=w+2*u*E(i)*a(i:i+N1)。%LMS 算法 end %%%%% DCT 算法 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% y=dct(a)。% DCT 變換 %%%%% 畫圖 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure:subplot(211),plot(a),title(39。輸入信號 a39。) subplot(212),plot(d),title(39。期望信號 d39。) figure:subplot(211),plot(a),title(39。輸入信號 a39。) subplot(211),plot(w),title(39。LMS 輸出信號 w39。) subplot(212),plot(y),title(39。DCT 輸出信號 y39。) figure:plot((1:length),E),title(39。誤差 E39。)。% 誤差的變化情況 仿真結(jié)果圖： 0 1000 2020 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 5 0050100150輸入信號 a0 1000 2020 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 2 00204060期望信號 d 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 . 100 . 10 . 20 . 3L M S 輸出信號 w50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 5 0050DCT 輸出信號 y 0 1000 2020 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1 001020304050誤差 E 隨著自適應(yīng)算法迭代次數(shù)的增加，濾波器輸出估計誤差逐漸變小 。 總結(jié) 變換域自適應(yīng)濾波器（ TDAF）與時域自適應(yīng)濾 波器之間的主要差異之一在于信號輸入和濾波器輸入之間加入了正交變換， LSM 最大的優(yōu)點是具有簡單的濾波器權(quán)值更新方程，它有利于進(jìn)行數(shù)值計算，穩(wěn)定性好，對于有限字長的誤差不敏感，而其它的一些復(fù)雜算法，則不具備這個特點。但是它的性能不好，直接依賴于輸入信號的頻譜特點，當(dāng)輸入信號為高度有色信號（特征值分散度廣）時，LMS 算法的收斂速度很慢。 TDAF 對特征值分散度不敏感，在特征值分散度大的情況下，仍然保持了很快的收斂速度。其中 DCT 變換 就 是對 KLT 的最優(yōu)近似，相對于其它常用變換，DCT 輸出系數(shù)之間的正交性最好，且是實 數(shù)變換，有利于其后的自適應(yīng)算法的計算 ，在語音信號處理及圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用。 編號 ： 本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 從 《福爾摩斯偵探集》看 維多利亞時期倫敦的形象 An Analysis on Victorian London in Conan Doyle’s Tales of Sherlock Holmes 下屬學(xué)院 人文學(xué)院 專 業(yè) 英 語 班 級 09 學(xué) 號 姓 名 Kuo Mark 指導(dǎo)教師 王鈞 職稱 講師 完成日期 2020 年 5 月 4 日寧波大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） I 誠 信 承 諾 我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文《 從 福爾摩斯偵探集 看維多利亞時期倫敦的形象 》均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注