fhaaaa數(shù)列求和各種方法總結(jié)歸納(已修改)
2025-08-07 07:29 本頁(yè)面
【正文】 一、公式法 1．如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等 差、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比 q的取值情況要分 q＝ 1或 q≠1. (1)1＋ 2＋ 3＋ 4＋ … ＋ n＝ (2)1＋ 3＋ 5＋ 7＋ … ＋ 2n－ 1＝ (3)2＋ 4＋ 6＋ 8＋ … ＋ 2n＝ n ? n ＋ 1 ?2 n2 n2＋ n 二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法 1．倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列 {an}，首末兩端等 “距離 ”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前 n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的． 2．分組求和法 若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減． 【 分組求和法 】 數(shù)列 {(－ 1)nn}的前 n項(xiàng)和 Sn=？ 3．錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè) 等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列 的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前 n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求 . 【 錯(cuò)位相減法 】 設(shè) {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn， an＝ n2 n，則 Sn＝ 解析： ∵ Sn＝ 1 21＋ 2 22＋ 3 23＋ … ＋ n 2n ① ∴ 2 Sn＝ 1 22＋ 2 23＋ 3 24＋ … ＋ ( n － 1 ) 2n＋ n 2n + 1② ① － ② 得－ Sn＝ 2 ＋ 22＋ 23＋ … ＋ 2n－ n 2n + 1＝2 ? 1 － 2n?1 － 2－ n 2n + 1 ＝ 2n + 1－ 2 － n 2n + 1 ∴ Sn＝ ( n － 1 ) 2n + 1＋ 2 4．裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． 【裂項(xiàng)求和法】 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，若 a n ＝1n ? n ＋ 1 ?，則 S n = (1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和． 數(shù)列求和的方法 (2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路： ①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成． ②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和． [例 1] (2022山東高考 )等比數(shù)列 {an}中， a1， a2， a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且 a1， a2， a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列 . 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列 {bn}滿足： bn＝ an＋ (－ 1)nln an，求 {bn}的前 2n項(xiàng)和 S2n [自主解答 ] (1)當(dāng) a1＝ 3時(shí)，不合題意； 當(dāng) a1＝ 2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) a2＝ 6， a3＝ 18時(shí)，符合題意； 當(dāng) a1＝ 10時(shí)，不合題意． 因此 a1＝ 2， a2＝ 6， a3＝ q＝ 3， 故 an＝ 23n－ 1. (2) 因?yàn)?bn＝ an＋ ( － 1)nln an＝ 2 3n － 1＋ ( － 1)nln(2 3n － 1) ＝ 2 3n － 1＋ ( － 1)n(ln 2 － ln 3) ＋ ( － 1)nn ln 3 ， 所以 S2 n＝ b1＋ b2＋ … ＋ b2 n＝ 2(1 ＋ 3 ＋ … ＋ 3
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