空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題(已修改)
2025-08-04 13:44 本頁(yè)面
【正文】 空間直角坐標(biāo)系與空間向量一、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法構(gòu)建原則：遵循對(duì)稱(chēng)性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系．類(lèi)型舉例如下：（一）用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系 例1 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值． 解析：如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（０，1，2）、B（2，4，０）， ∴，． 設(shè)與所成的角為， 則．（二）利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2 如圖2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值． 解析：如圖2，以B為原點(diǎn)，分別以BBBA所在直線為y軸、z軸，過(guò)B點(diǎn)垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系． 由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝， ∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、．設(shè)且， 由EA⊥EB1，得， 即，∴， 即或（舍去）．故． 由已知有，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小為向量與的夾角． 因，故，
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