拉格朗日插值實驗報告(已修改)
2024-08-06 19:03 本頁面
【正文】 實驗名稱： 實驗一 拉格朗日插值1 引言我們在生產(chǎn)生活中常常會遇到這樣的問題：某個實際問題中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在且連續(xù)，但卻很難找到其表達(dá)式，只能通過實驗和觀測得到有限點上的函數(shù)表。顯然，根據(jù)這些點的函數(shù)值來求其它點的函數(shù)值是非常困難的。有些情況雖然可以寫出表達(dá)式，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使用不方便。所以我們總是希望根據(jù)已有的數(shù)據(jù)點（或函數(shù)表）來構(gòu)造某個簡單函數(shù)P(x)作為f(x)的近似值。插值法是解決此類問題的一種比較古老的、但卻很常用的方法。它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計算方法的基礎(chǔ)。2 實驗?zāi)康暮鸵螅x三種插值函數(shù)，要求一次性輸入整張函數(shù)表，并利用計算機(jī)選擇在插值計算中所需的節(jié)點。分別通過分段線性插值、分段二次插值和全區(qū)間上拉格朗日插值計算f()，f()，f()的近似值。已知函數(shù)表如下：xf(x)3 算法原理與流程圖（1）原理設(shè)函數(shù)y=在插值區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在n+1個不同的插值節(jié)點a≤x0,x1,…,xn≤b上分別取值y0,y1,…,yn。目的是要在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的插值函數(shù)類Φ中，求一簡單函數(shù)P(x)，滿足插值條件P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，而在其他點x≠xi上，作為f(x)近似值。求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法。在本實驗中，采用拉格朗日插值法。①分段低次插值當(dāng)給定了n+1個點x0x1…xn上的函數(shù)值y0,y1,…,yn后，若要計算x≠xi處函數(shù)值f(x)的近似值，可先選取兩個節(jié)點xi1與xi使x∈[xi1,xi]，然后在小區(qū)間[xi1,xi]上作線性插值，即得這種分段低次插值叫分段線性插值，又稱折線插值。類似地，我們可以選取距離x最近的三個節(jié)點xi1，xi與xi+1，然后進(jìn)行二次插值，即得這種分段低次插值叫分段二次插值，又稱分段拋物線插值。②全區(qū)間上拉格朗日插值對節(jié)點xi(i=0,1,…,n)中任一點xk(0≤k≤n)，作一n次多項式lk(x)，使它在該點上的取值為1，在其余點xi(i=0,1,…,k1,k+1,…,n)上取值為零。對應(yīng)于每一節(jié)點xk(k=0,1,…,n)，都能寫出一個滿足此條件的多項式，這樣寫出了n+1個多項式l0(x),l1(x),…,ln(x)，其中；由條件可得
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