全等三角形中做輔助線技巧要點大匯總(已修改)
2025-07-07 04:37 本頁面
【正文】 全等三角形中做輔助線技巧要點大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖11，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1． 如圖12，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。例2． 已知：如圖13，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3． 已知：在△ABC中，ABAC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BMCMABAC4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CDAB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習：1．如圖24∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=,DB=。3．已知：如圖25, ∠BAC=∠CAD,ABAD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180：如圖26,在正方形ABCD中，E為CD 的中點，F(xiàn)為BC 上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。5． 已知：如圖27，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1． 已知：如圖31，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中點。求證：DH=（ABAC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2． 已知：如圖32，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．已知：如圖33在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例4． 已知：如圖34，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習：1． 已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。2． 已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖41和圖42所示。12ACDB例4 如圖，ABAC, ∠1=∠2，求證：AB－ACBD－CD。例5 如圖，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。BDCAABECD例6 如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。練習：1. 已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。CAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABD
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