全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總-全文預(yù)覽
【正文】 :AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+ANMD+DE+NE。AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADABCD二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。練習(xí)：1. 已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。如圖41和圖42所示。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。例3．已知：如圖33在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。問題可證。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。求證：AF=AD+CF。PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC中，∠C=90例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3． 已知：在△ABC中，ABAC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖11，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。角平分線平行線，等腰三角形來添。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。近而證∠ADC與∠B之和為平角。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。練習(xí)：1．如圖24∠AOP=∠BOP=15：如圖26,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證CF=BH。求證：DH=（ABAC）分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例4． 已知：如圖34，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。BDCAABECD例6 如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。求證：AC=AE+CDAEBDC4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90176。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC∠DEC，同理∠DEC∠BAC，∴∠BDC∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF∠BAD，同理，∠CDF∠CAD，∴∠BDF+∠CDF∠BAD+∠CAD，即：∠BDC∠BAC。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CFEF。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABAC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180186。MBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90176。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG 證明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH 證明FH=EF、CH=BE 利用三角形兩邊之和大于第三邊已知：如圖，DABC中，208。EDCBA，△ABC中，∠BAC=90176。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=2=1，又因
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