全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總-預(yù)覽頁
【正文】 CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=1=。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90176。證明：延長AD到E，使DE=AD。∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。證明：延長BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90176。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90176。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。（平角的定義）∴∠3+∠2=90176。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。 ABDCEF5．已知：如圖AD為△ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”．2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小. 3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖① 當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．（二）、截長補(bǔ)短，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證。.二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，則△ACE是等腰三角形；如圖②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，則△ADE是等腰三角形；如圖③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，則△ACE是等腰三角形；①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG如圖④中，AD平分∠BAC，EF∥AD，則△AGE是等腰三角形.如圖，△ABC中，AB＝AC，在AC上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作EF⊥BC，交BA的延長線于點(diǎn)E，：.AE＝AP.FBACPEFCDEBA如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC.求證：EF∥AB.E圖1ABCD三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，則△AEC是等腰三角形.如圖2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90176。 FB CD 3．平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對Rt△,有時可作出斜邊的中線．ABCPQO△ABC中，∠BAC=60176。 (2009年寧德市)如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數(shù)，并說明理由；NMBEACDFG圖（1）圖（2）MBEACDFGN（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數(shù)），E是線段BC上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時，∠FCN的大小是否總保持變 （1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。求證：∠BAP+∠BCP=1801
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