勾股定理經(jīng)典例題含答案(已修改)
2025-07-05 07:40 本頁(yè)面
【正文】 勾股定理經(jīng)典例題含答案11頁(yè)勾股定理是一個(gè)基本的初等幾何定理，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a178。+b178。=c178。，若a、b、c都是正整數(shù)，(a,b,c)叫做勾股數(shù)組。勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一?！肮慈?，股四，弦五”是勾股定理的一個(gè)最著名的例子。遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人也應(yīng)用過勾股定理。在中國(guó)，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。類型一：勾股定理的直接用法 在Rt△ABC中，∠C=90176。 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路點(diǎn)撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90176。，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90176。，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90176。，c=25，b=15,a= 舉一反三 【變式】:如圖∠B=∠ACD=90176。, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少? 【答案】∵∠ACD=90176。 AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90176。且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 如圖，已知：在中，，. 求：BC的長(zhǎng). 思路點(diǎn)撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng). 解析：作于D，則因， ∴（的兩個(gè)銳角互余） ∴（在中，如果一個(gè)銳角等于， 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）. 根據(jù)勾股定理，在中， . 根據(jù)勾股定理，在中， . ∴ . 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中， . 而在中，則根據(jù)勾股定理有 . ∴ 又∵ （已知）， ∴. 在中，根據(jù)勾股定理有 ， ∴. 【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90176。，∠A=60176。，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長(zhǎng)AB、DC交于F，或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。 解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60176。，∠B=90176。，∴∠E=30176。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2AB2=8242=48，BE==。 ∵DE2= CE2CD2=4222=12，∴DE==。 ∴S四邊形ABCD=S△ABES△CDE=ABBECDDE=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題 如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)
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