人教版第24章圓的知識點(diǎn)及典型例題(已修改)
2025-07-05 04:09 本頁面
【正文】 圓知識點(diǎn)總結(jié)一． 圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．2．圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形．3．確定圓的條件：⑴圓心；⑵半徑，其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小．二． 同圓、同心圓、等圓1．圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2．圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓； 3．半徑相等的圓叫做等圓． 三．弦和弧1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c(diǎn)的弧記作，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。?3．圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．4．從圓心到弦的距離叫做弦心距． 5．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．四．與圓有關(guān)的角及相關(guān)定理1．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的弧．圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．2．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對的弧一定相等． 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑． （在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）3．頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊與圓相交的角叫圓內(nèi)角． 圓內(nèi)角定理：圓內(nèi)角的度數(shù)等于圓內(nèi)角所對的兩條弧的度數(shù)和的一半．4．頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫圓外角．圓外角定理：圓外角的度數(shù)等于圓外角所對的長弧的度數(shù)與短弧的度數(shù)的差的一半． 5．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對角．6．如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．7．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等． 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等．五．垂徑定理1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。? 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；2．其它正確結(jié)論：⑴ 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。? ⑵ 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧． ⑶ 圓的兩條平行弦所夾的弧相等．3．知二推三：⑴直徑或半徑；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣??；⑸平分優(yōu)?。? 以上五個(gè)條件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸時(shí)，要注意平分的弦非直徑．4．常見輔助線做法： ⑴過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度； ⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．相關(guān)題目：1．平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓上的最大距離是6，最小距離是2，求該圓的半徑2．（08郴州）已知在中，半徑，是兩條平行弦，且，則弦的長為__________． 解：．六．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置有三種：⑴點(diǎn)在圓外；⑵點(diǎn)在圓上；⑶點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的內(nèi)部.2．過已知點(diǎn)作圓⑴經(jīng)過點(diǎn)的圓：以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)．⑵經(jīng)過兩點(diǎn)的圓：以線段中垂線上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè)．⑶過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)共線時(shí)，過三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段與的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．⑷過個(gè)點(diǎn)的圓：只可以作個(gè)或個(gè)，當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心．3．定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓； ⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圓⑴經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合. ⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.五．直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定 設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交 從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)—直線名稱割線切線—四．切線的性質(zhì)及判定 1. 切線的性質(zhì)： 定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 2. 切線的判定 定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線； 距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； 定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于
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