平面幾何四大定理(已修改)
2025-07-01 22:55 本頁面
【正文】 平面幾何四個重要定理四個重要定理：梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）△ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內接于一圓。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。例題：1． 設AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：?！痉治觥緾EF截△ABD→（梅氏定理）【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。2． 過△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。【分析】連結并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【評注】梅氏定理3． D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN?！痉治觥俊驹u注】梅氏定理4． 以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點?！痉治觥俊驹u注】塞瓦定理5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+ABBC
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