【正文】 題型突破（六） 與圓有關(guān)的證明 與計算 題型解讀 圓中的證明或計算 ,通常不勾股定理 、 垂徑定理 、 三角形的全等等知識結(jié)合 ,形式復(fù)雜 ,無觃律性 .分析時要注意觀察已知線段間的兲系 ,選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化 ,特別是要借助圓的相兲定理進(jìn)行弧 、 弦 、 角之間的相互轉(zhuǎn)化 ,找出所求線段不已知線段的兲系 ,從而化未知為已知 ,解決問題 .其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有 :① 構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段 。② 構(gòu)造垂徑定理模型 :弦長一半 、 弦心距 、半徑 。③ 構(gòu)造勾股定理模型 . 類型 1 角平分線型問題 例 1 [2 0 1 7 棗莊 ] 如圖 Z6 1, 在 △ ABC 中 ,∠ C= 9 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D , 點 O 在 AB 上 , 以點 O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點 D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (1 ) 試判斷直線 BC 不 ☉ O 的位置兲系 , 并說明理由 。 (2 ) 若 BD= 2 3 , BF= 2, 求陰影部分的面積 ( 結(jié)果保留 π) . 【分層分析】 (1 ) 連接 OD , 證明 OD ∥ AC , 即可證得 ∠ ODB= 9 0 176。 , 從而證得 BC 是圓的切線 。 (2 ) 設(shè) O F =O D =x , 利用勾股定理列出兲于 x 的方程 , 求出方程的解得 到 x 的值 , 即為圓的半徑 , 求出圓心角的度數(shù) , 用直角三角形 O D B 的面積減去扇形 DOF 的面積即可求出陰影部分面積 . 圖 Z6 1 類型 1 角平分線型問題 例 1 [2 0 1 7 棗莊 ] 如圖 Z6 1, 在 △ ABC 中 ,∠ C= 9 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D , 點 O 在 AB 上 , 以點 O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點 D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (1 ) 試判斷直線 BC 不 ☉ O 的位置兲系 , 并說明理由 。 解 : ( 1 ) BC 不 ☉ O 相切 . 理由 : 連接 OD. ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分線 ,∴ ∠ BAD= ∠ CA D . 又 ∵ O D =O A ,∴ ∠ OAD= ∠ ODA. ∴ ∠ CA D = ∠ ODA. ∴ OD ∥ A C. ∴ ∠ ODB= ∠ C= 9 0 176。 , 即 OD ⊥ B C. 又 ∵ BC 過半徑 OD 的外端點 D ,∴ BC 不 ☉ O 相切 . 圖 Z6 1 類型 1 角平分線型問題 例 1 [2 0 1 7 棗莊 ] 如圖 Z6 1, 在 △ ABC 中 ,∠ C= 9 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D , 點 O 在 AB 上 , 以點 O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點 D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (2 ) 若 BD= 2 3 , BF= 2, 求陰影部分的面積 ( 結(jié)果保留 π) . 解 : ( 2 ) 設(shè) O F =O D =x , 則 O B =O F +B F =x+ 2, 根據(jù)勾股定理得 : OB2=O D2+B D2, 即 ( x+ 2)2=x2+ 1 2 , 解得 : x= 2, 即 O D =O F = 2, ∴ OB= 2 + 2 = 4, ∵ 在 Rt △ ODB 中 , OD=12OB ,∴∠ B= 3 0 176。 ,∴∠ DOB= 6 0 176。 , ∴ S 扇形 DOF =60 π 4360=2 π3. 則陰影部分的面積為 S △ ODB S 扇形 DOF =12 2 2 3 23π = 2 3 23π, 故陰影部分的面積為 2 3 23π . 圖 Z6 1 解 : ( 1 )∵∠ B O C= 6 0 176。 ,直徑 AB= 4, 即半徑等于 2, ∴ 扇形 OBC 的面積 =60 π 2 2360=23π . 1 . [2 0 1 8 懷化 ] 已知 : 如圖 Z6 2, AB 是 ☉ O 的直徑 , AB= 4, 點 F , C 是 ☉ O上兩點 ,連接 AC , AF , OC ,弦 AC 平分 ∠ FAB ,∠ B O C= 6 0 176。 ,過點 C 作 CD⊥ AF 交 AF 的延長線于點 D ,垂足為點 D. (1 ) 求扇形 OBC 的面積 ( 結(jié)果保留 π)。 圖 Z6 2 針對訓(xùn)練 類型 1 角平分線型問題 (2) 求證 : CD 是 ☉ O 的切線 . (2 ) 證明 :∵ O A =O C ,∴∠ O A C= ∠ O CA . 又 ∵ AC 平分 ∠ BAF ,∴∠ O A C= ∠ FAC , ∴∠ F A C= ∠ O CA ,∴ OC ∥ AD. 又 ∵ CD ⊥ AD ,∴ CD ⊥ OC , ∴ CD 是 ☉ O 的切線 . 解 : ( 1 ) 證明 :∵ O A =O C ,∴∠ O A C= ∠ O CA , ∵ AC 平分 ∠ BAD ,∴∠ CA D = ∠ OAC ,∴∠ O CA = ∠ CA D ,∴ OC ∥ AD ,∴∠ D+ ∠ O CD = 1 8 0 176。 . ∵ ED 切 ☉ O 于點 C ,∴∠ O CD = 9 0 176。 ,∴∠ D= 1 8 0 176。 ∠ O CD = 9 0 176。 , ∴ AD ⊥ ED. 2 . [2 0 1 8 昆明 21 題 ] 如圖 Z6 3, AB 是 ☉ O 的直徑 , ED 切 ☉ O 于點 C , AD 交 ☉ O 于點 F , AC 平分 ∠ BAD , 連接 BF. (1 ) 求證 : AD ⊥ ED 。 (2 ) 若 CD = 4, AF= 2, 求 ☉ O 的半徑 . 類型 1 角平分線型問題 圖 Z6 3 解 : ( 2 ) ∵ AB 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ AFB= 9 0 176。 , 又 ∵∠ AFB= ∠ D= ∠ D CG = 9 0 176。 ,∴ 四邊形 GFDC 是矩形 ,∴ G F =CD = 4 . ∵ OC ∥ AD ,∴ △ BOG ∽△ BAF , 又 ∵ O A =O B ,∴?? ???? ??=?? ???? ??=12,∴ B G =F G = 4, ∴ BF= 2 FG= 8, 則在 Rt △ BAF 中 , AF2+B F2=A B2,∴ AB= 2 2 + 8 2 = 2 17 . ∴☉ O 的半徑是 17 . 類型 1 角平分線型問題 2 . [2 0 1 8 昆明 21 題 ] 如圖 Z6 3, AB 是 ☉ O 的直徑 , ED 切 ☉ O 于點 C , AD 交 ☉ O 于點 F , AC 平分 ∠ BAD , 連接 BF. (2 ) 若 CD = 4, AF= 2, 求 ☉ O 的半徑 . 圖 Z6 3 證明 : ( 1 ) 連接 OD ,∵ O A =O D , AD 平分 ∠ BAC ,∴∠ OAD= ∠ ODA ,∠ CA D = ∠ OAD , ∴∠ CA D = ∠ ODA ,∴ AE ∥ OD. ∵ DE 是 ☉ O 的切線 ,∴∠ ODE= 9 0 176。 , ∴ OD ⊥ DE ,∴ DE ⊥ AE. 3 . [2 0 1 8 綏化 ] 如圖 Z6 4, AB 是 ☉ O 的直徑 , AC 為弦 ,∠ BAC 的平分線交 ☉ O 于點 D , 過點 D 的切線交 AC 的延長線于點 E. 求證 : ( 1 ) DE ⊥ AE 。 (2 ) A E +CE =A B . 類型 1 角平分線型問題 圖 Z6 4 3 . [2 0 1 8 綏化 ] 如圖 Z6 4, AB 是 ☉ O 的直徑 , AC 為弦 ,∠ BAC 的平分線交 ☉ O 于點 D , 過點 D 的切線交 AC 的延長線于點 E. 求證 : ( 2 ) A E +CE =A B . 圖 Z6 4 證明 : ( 2 ) 過點 D 作 DM ⊥ AB 于點 M , 連接 CD , DB. ∵ AD 平分 ∠ BAC ,∴∠ EAD= ∠ MAD. 又 ∵ DE ⊥ AE , DM ⊥ AB ,∴ D E =D M .∵∠ AED= ∠ AMD= 9 0 176。 ,∠ EAD= ∠ MAD , ∴ △ DAE ≌△ DAM ,∴ A E =A M .∵∠ E A D = ∠ MAD ,∴ ?? ?? = ?? ?? , ∴ CD =B D .∵ D E =D M ,∴ Rt △ DEC ≌ Rt △ DMB ,∴ CE =B M , ∴ A E +CE =A M +B M =A B , 即 A E +CE =A B . 類型 1 角平分線型問題 4 . [2 0 1 8 咸寧 ] 如圖 Z6 5, 以 △ ABC 的邊 AC 為直徑的 ☉ O 恰為 △ ABC 的外接圓 ,∠ ABC 的平分線交 ☉ O 于點D , 過點 D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延長線于點 E. (1 ) 求證 : DE 是 ☉ O 的切線 。 (2 ) 若 AB =2 5 , BC = 5 , 求 DE 的長 . 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD ,∵