云南省20xx年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 題型突破（六）與圓有關(guān)的證明與計算課件-文庫吧
2025-06-04 12:16 本頁面
【正文】 AC 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ A B C= 9 0 176。 , ∵ BD 平分 ∠ ABC ,∴∠ ABD= 4 5 176。 ,∴∠ AOD= 9 0 176。 . ∵ DE ∥ AC ,∴∠ ODE= ∠ AOD= 9 0 176。 , ∴ DE 是 ☉ O 的切線 . 類型 1 角平分線型問題 圖 Z6 5 解 : ( 2 ) 在 Rt △ ABC 中 , AB= 2 5 , B C= 5 ,∴ A C= ?? ?? 2 + ?? ?? 2 = 5, ∴ OD=52. 過點 C 作 CG ⊥ DE , 垂足為 G , 則四邊形 ODGC 為正方形 ,∴ D G =CG =O D =52. ∵ DE ∥ AC ,∴∠ CE G = ∠ A CB , ∵∠ A B C= ∠ CG E = 9 0 176。 ,∴ △ ABC ∽△ CG E ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即2 . 5?? ??=2 5 5, 解得 : GE=54,∴ D E =D G +G E =154. 類型 1 角平分線型問題 4 . [2 0 1 8 咸寧 ] 如圖 Z6 5, 以 △ ABC 的邊 AC 為直徑的 ☉ O 恰為 △ ABC 的外接圓 ,∠ ABC 的平分線交 ☉ O 于點D , 過點 D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延長線于點 E. (2 ) 若 AB =2 5 , BC = 5 , 求 DE 的長 . 圖 Z6 5 類型 2 弦切型問題 例 2 [2 0 1 8 遂寧 ] 如圖 Z6 6, 過 ☉ O 外一點 P 作 ☉ O 的切線 PA 切 ☉ O 于點 A , 連接 PO 并延長 , 不 ☉ O 交于 C , D兩點 , M 是半圓 CD 的中點 , 連接 AM 交 CD 于點 N , 連接 AC , CM . (1 ) 求證 : CM2=M N MA 。 (2 ) 若 ∠ P= 3 0 176。 , P C= 2, 求 CM 的長 . 【分層分析】 (1 ) 要證 CM2=M N MA 此類兲系式 , 需尋找相似 . 根據(jù) M 是半圓 CD 的中點得出 ∠ CA M = ∠ D CM , 進而得出 △ CM N∽△ AMC , 然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得?? ???? ??=?? ???? ??, 進而得出結(jié)論 . (2 ) 見切點連半徑 , 考慮連接 OA , DM , 根據(jù)切線的性質(zhì)可得 ∠ PAO= 9 0 176。 , 由 ∠ P= 3 0 176。 , 可求出半徑 r 的值 , 然后根據(jù)M 點是半圓 CD 的中點 , 可得 CM =D M , 在 Rt △ CM D 中 , 由勾股定理可得出結(jié)果 . 圖 Z6 6 類型 2 弦切型問題 例 2 [2 0 1 8 遂寧 ] 如圖 Z6 6, 過 ☉ O 外一點 P 作 ☉ O 的切線 PA 切 ☉ O 于點 A , 連接 PO 并延長 , 不 ☉ O 交于 C , D兩點 , M 是半圓 CD 的中點 , 連接 AM 交 CD 于點 N , 連接 AC , CM . (1 ) 求證 : CM2=M N MA 。 解 : ( 1 ) 證明 :∵ 在 ☉ O 中 , M 點是半圓 CD 的中點 ,∴∠ CA M = ∠ D CM , 又 ∵∠ M 是公共角 ,∴ △ CM N ∽△ AMC ,∴ ?? ???? ?? = ?? ???? ?? ,∴ CM 2 =M N MA. 圖 Z6 6 類型 2 弦切型問題 (2 ) 連接 OA , DM ,∵ PA 是 ☉ O 的切線 ,∴∠ PAO= 9 0 176。 , 又 ∵∠ P= 3 0 176。 ,∴ OA=12PO=12( P C+CO ) . 設(shè) ☉ O 的半徑為 r ,∵ P C= 2, ∴ r=12(2 +r ), 解得 r= 2, 又 ∵ CD 是直徑 ,∴∠ CM D = 9 0 176。 , ∵ M 點是半圓 CD 的中點 ,∴ CM =D M ,∴ △ CM D 是等腰直角三角形 , ∴ 在 Rt △ CM D 中 , 由勾股定理得 CM2+D M2=CD2, ∴ 2 CM2= (2 r )2= 16, ∴ CM2= 8, ∴ CM = 2 2 . 圖 Z6 6 例 2 [2 0 1 8 遂寧 ] 如圖 Z6 6, 過 ☉ O 外一點 P 作 ☉ O 的切線 PA 切 ☉ O 于點 A , 連接 PO 并延長 , 不 ☉ O 交于 C , D兩點 , M 是半圓 CD 的中點 , 連接 AM 交 CD 于點 N , 連接 AC , CM . (2 ) 若 ∠ P= 3 0 176。 , P C= 2, 求 CM 的長 . 類型 2 弦切型問題 1 . [2 0 1 8 東營 ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點 C 在直徑 AB 的延長線上 . ( 1) 求證 :∠ CA D = ∠ BDC 。 (2 ) 若 BD= 23AD , A C= 3, 求 CD 的長 . 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD. ∵ CD 是 ☉ O 的切線 ,∴∠ O D C= 9 0 176。 , 即 ∠ CD B + ∠ BDO= 90176。 . ∵ AB 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ ADB= 9 0 176。 .∴ 在 Rt △ ABD 中 ,∠ A+ ∠ ABD= 90176。 . ∵ O B =O D ,∴∠ O B D = ∠ ODB. ∴∠ A= ∠ CD B . 即 ∠ CA D = ∠ B D C. 針對訓(xùn)練 圖 Z6 7 類型 2 弦切型問題 1 . [2 0 1 8 東營 ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點 C 在直徑 AB 的延長線上 . (2 ) 若 BD= 23AD , A C= 3, 求 CD 的長 . (2 ) ∵ BD=23AD ,∴?? ???? ??=23. ∵∠ CA D = ∠ BDC ,∠ D CB = ∠ A CD ,∴ △ CB D ∽△ CD A . ∴?? ???? ??=?? ???? ??=?? ???? ??. ∵ A C= 3, ∴23=?? ??3.∴ CD = 2 . 圖 Z6 7 解 : ( 1 ) 連接 OA. ∵ PA 是 ☉ O 的切線 , 切點為 A ,∴∠ PAO= 90176。 . ∵∠ P= 3 0 176。 ,∴∠ AOD= 6 0 176。 . ∵ AC ⊥ PB , PB 過圓心 ,∴ A D =D C. 在 Rt △ ODA 中 , A D =O A s i n 6 0 176。 =5 32. ∴ A C= 2 AD= 5 3 . 類型 2 弦切型問題 2 . [2 0 1 7 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點為 A , 連接 PO 并延長交 ☉ O 于點 B , 過點A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點 C , 交 PB 于點 D , 連接 BC , 當 ∠ P= 3 0 176。 時 . (1 ) 求弦 AC 的長 。 (2 ) 求證 : BC ∥ PA. 圖 Z6 8 (2 ) 證明 :∵ AC ⊥ PB ,∠ P= 3 0 176。 ,∴∠ P A C= 6 0 176。 . ∵∠ AOP= 6 0 176。 ,∴∠ BOA= 1 2 0 176。 . ∴∠ B CA = 6 0 176。 .∴∠ P A C= ∠ B CA . ∴ BC ∥ PA. 類型 2 弦切型問題 2 . [2 0 1 7 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點為 A , 連接 PO 并延長交 ☉ O 于點 B , 過點A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點 C , 交 PB 于點 D , 連接 BC , 當 ∠ P= 3 0 176。 時 . (2 ) 求證 : BC ∥ PA. 圖 Z6 8 3 . [2 0 1 8 蘭州 ] 如圖 Z6 9, AB 為 ☉ O 的直徑 , C 為 ☉ O 上一點 , D 為 BA 延長線上的一點 ,∠ A CD = ∠ B. (1 ) 求證 : DC 為 ☉ O 的切線 。 (2 ) 線段 DF 分別交 AC , BC 于點 E , F , 且 ∠ CE F = 4 5 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35, 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OC ,∵ O B =O C ,∴∠ O B C= ∠ O CB , ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 ,∴∠ B CA = 9 0 176。 ,∴∠ O CA + ∠ O CB = 9 0 176。 , ∵∠ O B C= ∠ A CD ,∴∠ O CA + ∠ A CD = 9 0 176。 , 即 OC ⊥ CD ,∴ DC 為 ☉ O 的切線 . 解 : ( 2 ) 由 ∠ CE F = 4 5 176。 ,∠ A CB = 9 0 176。 可知 ,∠ CF E = ∠ CE F = 4 5 176。 , 即 CF =CE . 由 s i n B=35, OA= 5, 得 A C= 6,
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