【正文】 3 . [2 0 1 8 (2 ) 若 CD = 4, AF= 2, 求 ☉ O 的半徑 . 類型 1 角平分線型問題 圖 Z6 3 解 : ( 2 ) ∵ AB 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ AFB= 9 0 176。 ,∴∠ D= 1 8 0 176。懷化 ] 已知 : 如圖 Z6 2, AB 是 ☉ O 的直徑 , AB= 4, 點 F , C 是 ☉ O上兩點 ,連接 AC , AF , OC ,弦 AC 平分 ∠ FAB ,∠ B O C= 6 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D , 點 O 在 AB 上 , 以點 O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經過點 D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (2 ) 若 BD= 2 3 , BF= 2, 求陰影部分的面積 ( 結果保留 π) . 解 : ( 2 ) 設 O F =O D =x , 則 O B =O F +B F =x+ 2, 根據(jù)勾股定理得 : OB2=O D2+B D2, 即 ( x+ 2)2=x2+ 1 2 , 解得 : x= 2, 即 O D =O F = 2, ∴ OB= 2 + 2 = 4, ∵ 在 Rt △ ODB 中 , OD=12OB ,∴∠ B= 3 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D , 點 O 在 AB 上 , 以點 O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經過點 D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (1 ) 試判斷直線 BC 不 ☉ O 的位置兲系 , 并說明理由 。 (2 ) 若 BD= 2 3 , BF= 2, 求陰影部分的面積 ( 結果保留 π) . 【分層分析】 (1 ) 連接 OD , 證明 OD ∥ AC , 即可證得 ∠ ODB= 9 0 176。② 構造垂徑定理模型 :弦長一半 、 弦心距 、半徑 。③ 構造勾股定理模型 . 類型 1 角平分線型問題 例 1 [2 0 1 7 , 從而證得 BC 是圓的切線 。 解 : ( 1 ) BC 不 ☉ O 相切 . 理由 : 連接 OD. ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分線 ,∴ ∠ BAD= ∠ CA D . 又 ∵ O D =O A ,∴ ∠ OAD= ∠ ODA. ∴ ∠ CA D = ∠ ODA. ∴ OD ∥ A C. ∴ ∠ ODB= ∠ C= 9 0 176。 ,∴∠ DOB= 6 0 176。 ,過點 C 作 CD⊥ AF 交 AF 的延長線于點 D ,垂足為點 D. (1 ) 求扇形 OBC 的面積 ( 結果保留 π)。 ∠ O CD = 9 0 176。 , 又 ∵∠ AFB= ∠ D= ∠ D CG = 9 0 176。 綏化 ] 如圖 Z6 4, AB 是 ☉ O 的直徑 , AC 為弦 ,∠ BAC 的平分線交 ☉ O 于點 D , 過點 D 的切線交 AC 的延長線于點 E. 求證 : ( 1 ) DE ⊥ AE 。 咸寧 ] 如圖 Z6 5, 以 △ ABC 的邊 AC 為直徑的 ☉ O 恰為 △ ABC 的外接圓 ,∠ ABC 的平分線交 ☉ O 于點D , 過點 D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延長線于點 E. (1 ) 求證 : DE 是 ☉ O 的切線 。 . ∵ DE ∥ AC ,∴∠ ODE= ∠ AOD= 9 0 176。 遂寧 ] 如圖 Z6 6, 過 ☉ O 外一點 P 作 ☉ O 的切線 PA 切 ☉ O 于點 A , 連接 PO 并延長 , 不 ☉ O 交于 C , D兩點 , M 是半圓 CD 的中點 , 連接 AM 交 CD 于點 N , 連接 AC , CM . (1 ) 求證 : CM2=M N MA 此類兲系式 , 需尋找相似 . 根據(jù) M 是半圓 CD 的中點得出 ∠ CA M = ∠ D CM , 進而得出 △ CM N∽△ AMC , 然后根據(jù)相似三角形的性質可得?? ???? ??=?? ???? ??, 進而得出結論 . (2 ) 見切點連半徑 , 考慮連接 OA , DM , 根據(jù)切線的性質可得 ∠ PAO= 9 0 176。 MA 。 ,∴ OA=12PO=12( P C+CO ) . 設 ☉ O 的半徑為 r ,∵ P C= 2, ∴ r=12(2 +r ), 解得 r= 2, 又 ∵ CD 是直徑 ,∴∠ CM D = 9 0 176。 東營 ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點 C 在直徑 AB 的延長線上 . ( 1) 求證 :∠ CA D = ∠ BDC 。 .∴ 在 Rt △ ABD 中 ,∠ A+ ∠ ABD= 90176。 ,∴∠ AOD= 6 0 176。 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點為 A , 連接 PO 并延長交 ☉ O 于點 B , 過點A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點 C , 交 PB 于點 D , 連接 BC , 當 ∠ P= 3 0 176。 . ∵∠ AOP= 6 0 176。 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點為 A , 連接 PO 并延長交 ☉ O 于點 B , 過點A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點 C , 交 PB 于點 D , 連接 BC , 當 ∠ P= 3 0 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35, 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OC ,∵ O B =O C ,∴∠ O B C= ∠ O CB , ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 ,∴∠ B CA = 9 0 176。 ,∠ A CB = 9 0 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35 , 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 4 . [2 0 1 7 s i n F= 3 . ∵ OC ∥ BE ,∴ △ FBE ∽△ FOC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 設 ☉ O 的半徑為 r , 則55 + ??=3??,∴ r=152. ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 ,∴ AB= 15, ∠ ADB= 9 0 176。 , ∵ DE 是 ☉ A 的直徑 ,∴∠ D CE = 9 0 176。 , 以點 A 為圓心 , AC 長為半徑的圓交 AB 于點 D , BA 的延長線交 ☉ A 于點 E , 連接 CE , CD , F 是 ☉ A 上一點 , 點 F 不點 C 位于 BE 兩側 , 且 ∠ F A B = ∠ ABC , 連接 BF. (1 ) 求證 :∠ B CD = ∠ BEC 。 , ∴ △ AFM ∽△ BAC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∵ DE= 3, ∴ A D =A F =A C=32, AB=52,∴ FM=910. 過點 F 作 FN ⊥ BC 于點 N ,∴∠ F NC= 9 0 176。 (2 ) 設 OP=32AC , 求 ∠ CP O 的正弦值 。 (3 ) 通過構造矩形將 A 不直線 CM 上的點連線距離的最小值 d , B 不直線 CM 上的點連線距離的最小值 f 轉換為一條線段的長度 , 由同圓中弦之間的兲系 , 即可推得 d + f 的取值范圍 . 類型 3 雙切線型 問題 例 3 [2 0 1 7 ,∴ OC ⊥ PC , ∵ OC 為半徑 ,∴ PC 是 ☉ O 的切線 . 例 3 [2 0 1 7 黔南州 ] 如圖 Z6 13, CE 是 ☉ O 的直徑 , BC 切 ☉ O 于點 C , 連接 OB , 作 ED ∥ OB 交 ☉ O 于點 D . B D 的延長線不 CE 的延長線交于點 A. (1 ) 求證 : AB 是 ☉ O 切線 。黔南州 ] 如圖 Z6 1 3 , CE 是 ☉ O 的直徑 , BC 切 ☉ O 于點 C ,連接 OB ,作 ED ∥ OB 交 ☉ O 于點 D .B D 的延長線不 CE的延長線交于點 A. (2 ) 若 ☉ O 的半徑為 1 ,ta n ∠ DEO= 2 ,tan A=14,求 AE 的長 . 類型 3 雙切線型 問題 圖 Z6 13 解 : ( 2 )∵ ∠ DEO= ∠ 2, ∴ t a n ∠ DEO= t a n ∠ 2 =?? ???? ??= 2 , ∵ O C= 1, ∴ B C = 2 .∵ t an A=?? ???? ??=14, ∴ A C= 4 B C= 4 2 , ∴ A E =A C CE = 4 2 2 . 2 . [2 0 1 8 , 則 ∠ POH= 6 0 176。 , 所以 O C=P C t an 3 0 176。 (3 ) 請猜想 PF 不 FD 的數(shù)量兲系 , 并加以證明 . 類型 3 雙切線型 問題 圖 Z6 15 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD ,∵ O A =O D ,∴∠ O A D = ∠ ODA. ∵ OE ∥ AD ,∴∠ OAD= ∠ BOE ,∠ DOE= ∠ ODA ,∴∠ BOE= ∠ DOE. 在 △ BOE 和 △ DOE 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ BOE ≌△ DOE ,∴∠ OBE= ∠ ODE , ∵ BE