【正文】 《大學物理簡明教程》習題解答習題一11 ｜｜與有無不同?和有無不同? 和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明．解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在徑向上的分量.∵有（式中叫做單位矢），則式中就是速度徑向上的分量，∴不同如題11圖所示. 題11圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.∵有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以式中就是加速度的切向分量.(的運算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)12 設(shè)質(zhì)點的運動方程為=()，=()，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出r＝，然后根據(jù)=，及＝而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 =及= 你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：，在平面直角坐標系中，有，故它們的模即為而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在11題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分。或者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。13 一質(zhì)點在平面上運動，運動方程為=3+5, =2+34.式中以 s計，,以m計．(1)以時間為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和＝2s 時刻的位置矢量，計算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；(3)計算＝0 s時刻到＝4s時刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算＝4 s 時質(zhì)點的速度；(5)計算＝0s 到＝4s 內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；(6)求出質(zhì)點加速度矢量的表示式，計算＝4s 時質(zhì)點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)．解：（1） (2)將,代入上式即有 (3)∵ ∴ (4) 則 (5)∵ (6) 這說明該點只有方向的加速度，且為恒量。14 在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題14圖所示．當人以(m)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大?。? 圖14解： 設(shè)人到船之間繩的長度為，此時繩與水面成角，由圖可知 將上式對時間求導，得 題14圖根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的，∴ 即 或 將再對求導，即得船的加速度15 質(zhì)點沿軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為 ＝2+6，的單位為，的單位為 m. 質(zhì)點在＝0處，速度為10,試求質(zhì)點在任何坐標處的速度值．解： ∵ 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，,∴∴ 16 已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為 ＝4+3，開始運動時，＝5 m，=0，求該質(zhì)點在＝10s 時的速度和位置． 解：∵ 分離變量，得 積分，得 由題知，,∴故 又因為 分離變量， 積分得 由題知 ,∴故 所以時17 一質(zhì)點沿半徑為1 m 的圓周運動，運動方程為 =2+3，式中以弧度計，以秒計，求：(1) ＝2 s時，質(zhì)點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45176。角時，其角位移是多少? 解： (1)時， (2)當加速度方向與半徑成角時，有即 亦即 則解得 于是角位移為18 質(zhì)點沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運動，式中為質(zhì)點離圓周上某點的弧長,，都是常量，求：(1)時刻質(zhì)點的加速度；(2) 為何值時，加速度在數(shù)值上等于．解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為(2)由題意應有即 ∴當時，19 以初速度＝20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60176。的夾角，求：(1)球軌道最高點的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑．(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題110圖所示．題19圖(1)在最高點， 又∵ ∴ (2)在落地點，,而 ∴ m，自靜止啟動，其角加速度為β= rad，求＝2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：當時，則111 一船以速率＝30kmh1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率＝40kmh1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何? 解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題113圖(a)題111圖由圖可知 方向北偏西 (2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題113圖(b)，同上法，得方向南偏東習題二21 一個質(zhì)量為的質(zhì)點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點的運動軌道．解: 物體置于斜面上受到重力，：取方向為軸，.題21圖方向： ①方向： ② 時 由①、②式消去，得22 質(zhì)量為16 kg 的質(zhì)點在平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力的分量為＝6 N，＝7 N，當＝0時，0，＝2 ms1，＝0．求當＝2 s時質(zhì)點的 (1)位矢；(2)速度．解： (1)于是質(zhì)點在時的速度(2)23 質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時質(zhì)點的速度為，證明(1) 時刻的速度為＝；(2) 由0到的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為＝()［1］；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為；(4)證明當時速度減至的，式中m為質(zhì)點的質(zhì)量．答: (1)∵ 分離變量，得即 ∴ (2) (3)質(zhì)點停止運動時速度為零，即t→∞，故有 (4)當t=時，其速度為即速度減至的.24一質(zhì)量為的質(zhì)點以與地的仰角=30176。的初速從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點落地時相對拋射時的動量的增量．解: 依題意作出示意圖如題26圖題24圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對軸對稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動量的增量為由矢量圖知，動量增量大小為，方向豎直向下．25 作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量．(2)為了使這力的沖量為200 Ns，該力應在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度ms1的物體,回答這兩個問題．解: (1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理， ,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理．(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即亦即 解得，(舍去)26 一顆子彈由槍口射出時速率為，當子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質(zhì)量．解: (1)由題意，子彈到槍口時，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量27設(shè)．(1) 當一質(zhì)點從原點運動到時，求所作的功．(2)，試求平均功率．(3)如果質(zhì)點的質(zhì)量為1kg，試求動能的變化．解: (1)由題知，為恒力，∴ (2) (3)由動能定理，28 如題218圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度＝3ms1從斜面點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達點后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度．解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有式中，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得題28圖再次運用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ,則木塊彈回高度29 一個小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向互相垂直．證: 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有即 ①題29圖(a) 題29圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有亦即 ②由②可作出矢量三角形如圖(b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的．210一質(zhì)量為的質(zhì)點位于()處，速度為, 質(zhì)點受到一個沿負方向的力的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質(zhì)點上的力的力矩．解: 由題知，質(zhì)點的位矢為作用在質(zhì)點上的力為所以，質(zhì)點對原點的角動量為作用在質(zhì)點上的力的力矩為211 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓．它離太陽最近距離為＝1010m 時的速率是＝104ms1，它離太陽最遠時的速率是＝102ms1這時它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。)解: 哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有 ∴ 212 物體質(zhì)量為3kg，=0時位于, ，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對軸角動量的變化． 解: (1) (2)解(一) 即 ,即 ,∴ ∴ 解(二) ∵∴ 題212圖213飛輪的質(zhì)量＝60kg，半徑＝，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900revmin1．現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力，可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題225圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算．試求：(1)設(shè)＝100 N，問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b))．圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力．題213圖（a）題213圖(b)桿處于靜止狀態(tài)，所以對點的合力矩應為零，設(shè)閘瓦厚度不計，則有對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有，式中負號表示與角速度方向相反．∵