初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講一元二次方程的根(含答案)(已修改)
2025-06-30 05:53 本頁(yè)面
【正文】 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講()一元二次方程的根一 、內(nèi)容提要1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根，是由它的系數(shù)a, b, c的值確定的. 根公式是：x=. (b2－4ac≥0)2. 根的判別式① 實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根的充分必要條件是：b2－4ac≥0.② 有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理數(shù)根. ?、壅禂?shù)方程x2+px+q=0有兩個(gè)整數(shù)根p2－4q是整數(shù)的平方數(shù).3. 設(shè)x1, x2 是ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么① ax12+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0 (a≠0， b2－4ac≥0)；② x1=， x2= (a≠0, b2－4ac≥0)；③ 韋達(dá)定理：x1+x2= , x1x2= (a≠0, b2－4ac≥0).4. 方程整數(shù)根的其他條件整系數(shù)方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一個(gè)整數(shù)根x1的必要條件是：x1是c的因數(shù). 特殊的例子有： C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， a－b+c=0x1=－1.二、例題例1. 已知：a, b, c是實(shí)數(shù)，且a=b+c+1.求證：兩個(gè)方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 證明?。ㄓ梅醋C法）設(shè) 兩個(gè)方程都沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么△1≤0和△2≤0.即由①得b ≥，b+1 ≥代入③，得a－c=b+1≥， 4c≤4a－5 ④②＋④：a2－4a+5≤0，即（a－2）2+1≤0，這是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一個(gè)是大于0.∴方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.本題也可用直接證法：當(dāng)△1＋△2＞0時(shí)，則△1和△2中至少有一個(gè)是
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