初中數(shù)學(xué)競賽專題選講一元二次方程的根(含答案)-文庫吧
2025-06-03 05:53 本頁面
【正文】 正數(shù).例2. 已知首項系數(shù)不相等的兩個方程：?。╝－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b為正整數(shù))有一個公共根. 求a, b的值.解：用因式分解法求得：方程①的兩個根是 a和； 方程②兩根是b和.由已知a1, b1且a≠b. ∴公共根是a= 或b=. 兩個等式去分母后的結(jié)果是一樣的.即ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3. ∵a,b都是正整數(shù)， ∴??； 或.解得； 或.又解： 設(shè)公共根為x0那么 先消去二次項：①（b－1）－②（a－1） 得［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0. 整理得?。╝－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0.∵a≠b ∴x0＝1； 或 (ab－a－b－2)＝0.當(dāng)x0＝1時，由方程①得 a=1, ∴a－1=0，∴方程①不是二次方程. ∴x0不是公共根. 當(dāng)(ab－a－b－2)＝0時， 得(a－1)(b－1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的實數(shù)，方程x2+mx+n=0的兩根差與方程y2+ny+m=0的兩根 差相等.求：m+n 的值. 解：方程①兩根差是＝＝＝同理方程②兩根差是 ＝依題意，得＝.兩邊平方得：m2－4n=n2－4m. ∴（m－n）(m+n+4)=0 ∵m≠n， ∴ m+n+4＝0， m+n＝－4.例4. 若a, b, c都是奇數(shù)，則二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有有理數(shù)根. 證明：設(shè)方程有一個有理數(shù)根（m, n 是互質(zhì)的整數(shù)）.那么a()2+b()+c=0, 即an2+bmn+cm2=0.把m, n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，∵m, n互質(zhì)，∴
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