【正文】 第三章 函數(shù)及其圖象 一次函數(shù) 中考數(shù)學 (廣東專用 ) 考點一 一次函數(shù) (正比例函數(shù) )的圖象與性質(zhì) A組 20222022年 廣 東中考題組 五年中考 1.(2022深圳 ,7,3分 )直線 y=x向上平移 3個單位后 ,經(jīng)過的點是 ? ( ) A.(2,2) B.(2,3) C.(2,4) D.(2,5) 答案 D 把直線 y=x向上平移 3個單位 ,得到直線 y=x+3,當 x=2時 ,y=2+3=5,所以點 (2,5)在平移 后的直線上 . 思路分析 先求出平移后的解析式 ,再求出 x=2時函數(shù)的值 ,即可求出正確答案 . 方法總結(jié) 掌握函數(shù)圖象平移與函數(shù)解析式的變化的關(guān)系 ,是解決本題的關(guān)鍵 . 2.(2022廣東 ,7,3分 )如圖 ,在同一平面直角坐標系中 ,直線 y=k1x(k1≠ 0)與雙曲線 y=? (k2≠ 0)相交 于 A、 B兩點 ,已知點 A的坐標為 (1,2),則點 B的坐標為 ? ( ) ? A.(1,2) B.(2,1) C.(1,1) D.(2,2) 2kx答案 A 將點 A(1,2)代入 y=k1x得 ,k1=2。將點 A(1,2)代入 y=? 得 ,k2=2,所以直線與雙曲線的表達 式分別為 y=2x和 y=? ,聯(lián)立解得 ? 或 ? 所以點 B的坐標為 (1,2),故選 A. 2kx2x1,2xy ??? ??1,2,xy ???? ???思路分析 先根據(jù)條件求出 k k2的值 ,得到直線和雙曲線的表達式 ,再聯(lián)立后求方程組的解 , 得到點 B的坐標 . 小題巧解 A、 B兩點是過原點的直線與反比例函數(shù)圖象相交形成的交點 ,所以利用反比例函 數(shù)的對稱性 ,A、 B兩點關(guān)于原點對稱 ,已知 A(1,2),則 B(1,2). 3.(2022廣州 ,8,3分 )若一次函數(shù) y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限 ,則下列不等式中總是成 立的是 ? ( ) 0 0 +b0 +b0 答案 C ∵ 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限 ,∴ a0,b0. A.∵ a0,b0,∴ ab0,∴ A錯 。 B.∵ a0,b0,∴ ab0,∴ B錯 。 C.∵ a20,b0,∴ a2+b0,∴ C正確 。 D.∵ a0,b0,∴ 無法確定 a+b的大小 ,∴ D錯 . 思路分析 先根據(jù)一次函數(shù)圖象的位置 ,確定 a、 b的取值范圍 ,然后判斷選項的正誤 . 解題關(guān)鍵 確定 a、 b的取值范圍 ,可用“特殊值”法判斷選項的正誤 . 4.(2022廣州 ,9,3分 )已知正比例函數(shù) y=kx(k0)的圖象上兩點 A(x1,y1)、 B(x2,y2),且 x1x2,則下列不 等式中恒成立的是 ? ( ) +y20 +y20 0 0 答案 C ∵ k0,∴ y隨 x的增大而減小 ,∵ x1x2,∴ y1y2,∴ y1y2 C. 5.(2022汕尾 ,10,3分 )已知直線 y=kx+b,若 k+b=5,kb=6,則該直線不經(jīng)過 ? ( ) 答案 A ∵ k+b=50,kb=60, ∴ k、 b同為負數(shù) , ∴ 該直線不經(jīng)過第一象限 ,故選 A. 6.(2022深圳 ,6,3分 )已知函數(shù) y=ax+b經(jīng)過 (1,3),(0,2),則 ab等于 ? ( ) 答案 D 依題意得 ? ∴ ? ∴ ab=7,故選 D. 3,2,ab???? ??? 5,ab ????7.(2022梅州 ,22,9分 )如圖 ,直線 l經(jīng)過點 A(4,0),B(0,3). (1)求直線 l的函數(shù)表達式 。 (2)若圓 M的半徑為 2,圓心 M在 y軸上 ,當圓 M與直線 l相切時 ,求點 M的坐標 . ? 解析 (1)依題意可設(shè)直線 l的解析式為 y=kx+3(k≠ 0).? (2分 ) 將 x=4,y=0代入上式得 4k+3=0, 解得 k=? .? (3分 ) 所以直線 l的函數(shù)表達式為 y=? x+3.? (4分 ) (2)在△ AOB中 ,由勾股定理得 AB=5. 過 M作 ME⊥ AB交 AB于點 E, 當圓 M與直線 l相切時 ,ME=2.? (5分 ) 在△ OBA和△ EBM中 ,∵∠ OBA=∠ EBM,∠ BOA=∠ BEM, ∴ △ OBA∽ △ EBM,? (6分 ) ∴ ? =? ,∴ BM=? =? =? .? (7分 ) ∴ 點 M的坐標為 ? 或 ? .? (9分 ) 34 34OAEMAB EMOA?524?52 10,2??????112考點二 一次函數(shù)的應(yīng)用問題 1.(2022廣州 ,14,3分 )某水庫的水位在 5小時內(nèi)持續(xù)上漲 ,初始的水位高度為 6 米 ,水位以每小時 米的速度勻速上升 ,則水庫的水位高度 y米與時間 x小時 (0≤ x≤ 5)的函數(shù)關(guān)系式為 . 答案 y=+6(0≤ x≤ 5) 解析 水庫的水位高度 =初始水位高度 +上升的水位高度 ,所以 y=+6(0≤ x≤ 5). 2.(2022深圳 ,21,8分 )荔枝是深圳的特色水果 ,上市后小明媽媽買了 2千克桂味 ,3千克糯米糍給 爺爺 ,一共花費 90元 。又買了 1千克桂味和 2千克糯米糍給全家吃 ,一共花費 55元 .(兩次兩種荔枝 的售價不變 ) (1)求桂味和糯米糍的售價分別是每千克多少元 。 (2)如果還需購買兩種荔枝共 12千克 ,要求糯米糍的數(shù)量不少于桂味數(shù)量的 2倍 ,請設(shè)計一種購 買方案 ,使所需費用最低 . 解析 (1)設(shè)桂味的售價為每千克 x元 ,糯米糍的售價為每千克 y元 , 根據(jù)題意 ,可列方程組 ? 解得 ? 答 :桂味的售價為每千克 15元 ,糯米糍的售價為每千克 20元 . (2)設(shè)購買桂味 z千克 ,則糯米糍為 (12z)千克 . 由題意得 12z≥ 2z,∴ z≤ 4. 設(shè)所需的總費用為 w元 , 則 w=15z+20(12z)=2405z, 根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知 ,當 z=4時 ,w有最小值 ,wmin=24054=220. 答 :桂味購買 4千克 ,糯米糍購買 8千克 ,所需的費用最低 . 2 3 90,2 55,xyxy???? ??? 1 5 , ??? ??思路分析 (1)設(shè)未知數(shù) ,列方程組 ,解方程組 ,寫答語 .(2)利用不等式求出桂味購買質(zhì)量的取值 范圍 ,再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定費用最低的購買方案 . 解題關(guān)鍵 利用一次函數(shù)的增減性求最低費用 . 考點一 一次函數(shù) (正比例函數(shù) )的圖象與性質(zhì) B組 20222022年 全國 中考題組 1.(2022遼寧沈陽 ,8,2分 )在平面直角坐標系中 ,一次函數(shù) y=kx+b的圖象如圖所示 ,則 k和 b的取值 范圍是 ? ( ) ? 0,b0 0,b0 0,b0 0,b0 答案 C 由圖象得 ,y隨 x的增大而減小 ,所以 k y軸交于正半軸 ,所以 b0. 2.(2022上海 ,3,4分 )如果一次函數(shù) y=kx+b(k、 b是常數(shù) ,k≠ 0)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限 ,那 么 k、 b應(yīng)滿足的條件是 ? ( ) 0,且 b0 0,且 b0 0,且 b0 0,且 b0 答案 B 因為一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限 , 所以直線左高右低 , 且與 y軸的交點在 y軸的正半軸上 , 所以 k0,且 b0,故選 B. 3.(2022陜西 ,7,3分 )如圖 ,已知直線 l1:y=2x+4與直線 l2:y=kx+b(k≠ 0)在第一象限交于點 l2與 x軸的交點為 A(2,0),則 k的取值范圍是 ? ( ) ? k2 k0 k4 k2 答案 D 由題意得 2k+b=0,∴ b=2k. 聯(lián)立 ? 解得 ? 即 M? , ∵ 點 M在第一象限 ,∴ ? 解得 0k D. 2 4,2,yxy kx k? ? ??? ???42,28 ,2kxkkyk?? ??? ??? ?? ??4 8,22kkkk?????????42 0,28 0,2kkkk?? ?? ??? ?? ??思路分析 將點 A(2,0)代入 y=kx+b,得到 b與 k的關(guān)系式 ,兩個解析式聯(lián)立求得點 M的坐標 ,由點 M所在象限建立不等式組 ,解這個不等式組即可 . 解后反思 本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ,不等式 (組 )的解法 ,通過點 M所在的象限列 出關(guān)于 k的不等式組 ,通過解不等式組即可得到答案 . 4.(2022新疆烏魯木齊 ,6,4分 )一次函數(shù) y=kx+b(k,b是常數(shù) ,k≠ 0)的圖象如圖所示 ,則不等式 kx+b 0的解集是 ? ( ) ? 2 0 0 2 答案 A kx+b0,即 y0,對應(yīng)的函數(shù)圖象為 x軸上方的圖象 ,由題圖知 ,不等式 kx+b0的解集是 x2,故選 A. 5.(2022河北 ,5,3分 )若 k≠ 0,b0,則 y=kx+b的圖象可能是 ? ( ) ? 答案 B 選項 A中 ,k0,b=0,選項 C中 ,k0,b0,選項 D中 ,k=0,b0,只有選項 B符合題意 . 6.(2022陜西 ,5,3分 )設(shè)點 A(a,b)是正比例函數(shù) y=? x圖象上的任意一點 ,則下列等式一定成立的 是 ? ( ) +3b=0 =0 =0 +2b=0 32答案 D ∵ 點 A(a,b)是正比例函數(shù) y=? x的圖象上任意一點 ,∴ b=? a,∴ 3a+2b=0,故選 D. 32 327.(2022河北 ,14,2分 )如圖 ,直線 l:y=? x3與直線 y=a(a為常數(shù) )的交點在第四象限 ,則 a可能在 ? ( ) ? a2 a0 ≤ a≤ 2 a4 2答案 D 直線 y= ? x3與 y軸的交點坐標為 (0,3),若直線 y=a與直線 y= ? x3的交點在第四象 限 ,則 a3,故選 D. 2 28.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :當 k,b為常數(shù) ,k≠ 0,b≠ 0,k≠ b時 ,一次函數(shù) y=kx+b與 y=bx+k互為交 換函數(shù) .例如 :y=4x+3的交換函數(shù)為 y=3x+ y=kx+2與它的交換函數(shù)圖象的交點橫坐標 為 . 答案 1 解析 y=kx+2的交換函數(shù)為 y=2x+k,令 kx+2=2x+k,則 (k2)x=k2,由題意得 k≠ 2,即 k2≠ 0,所以 x= 1,所以交點橫坐標是 1. 解題關(guān)鍵 充分理解題意 ,會模仿寫出交換函數(shù) ,并會解含字母系數(shù)的方程 . 考點二 一次函數(shù)的應(yīng)用問題 1.(2022遼寧沈陽 ,15,4分 )如圖 1,在某個盛水容器內(nèi) ,有一個小水杯 ,小水杯內(nèi)有部分水 ,現(xiàn)在勻 速持續(xù)地向小水杯內(nèi)注水 ,注滿小水杯后 ,繼續(xù)注水 .小水杯內(nèi)水的高度 y(cm)和注水時間 x(s)之 間的關(guān)系滿足圖 2中的圖象 ,則至少需要 s能把小水杯注滿水 . ? 答案 5 解析 設(shè) t s時恰好注滿小水杯 .在向小水杯內(nèi)注水的過程中 ,當 0≤ x≤ t時 ,小水杯內(nèi)水的高度 y (cm)與注水時間 x(s)的圖象是一條線段 ,這條線段所在直線過 (0,1),(2,5),(t,11)三點 .設(shè)這條直線 的解析式為 y=kx+b(k≠ 0),則 ? 解這個方程組 ,得 ? ∴ 這條直線的解析式為 y=2x+ y=11時 ,有 11=2t+1,∴ t=5.∴ 至少需要 5 s能把小水杯注滿水 . 1 0 ,5 2 ,kbkb? ? ??? ??? 2, ??? ??2.(2022四川成都 ,26,8分 )為了美化環(huán)境 ,建設(shè)宜居成都 ,我市準備在一個廣場上種植甲、乙兩 種花卉 .經(jīng)市場調(diào)查 ,甲種花卉的種植費用 y(元 )與種植面積 x(m2)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 ,乙 種花卉的種植費用為每平方米 100元 . ? (1)直接寫出當 0≤ x≤ 300和 x300時 ,y與 x的函數(shù)關(guān)系式 。 (2)廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共 1 200 m2,若甲種花卉的種植面積不少于 200 m2,且不 超過乙種花卉種植面積的 2倍 ,那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植總費 用最少 ?最少總費用為多少元 ? 解析 (1)當 0≤ x≤ 300時 ,y=130x。 當 x300時 ,y=80x+15 000. (2)甲種花卉的種植面積為 x m2,則乙種花卉的種植面積為 (1 200x)m2, ∴ ? ∴ 200≤ x≤ 800. 設(shè)甲、乙兩種花卉的種植總費用為 w元 . 當 200≤ x≤ 30