【正文】 第 13講 二次函數綜合題 (11分 ) 類型一 線段問題( 20 18 178。 宜賓節(jié)選 ) 在平面直角坐標 系 xO y 中 ， 已知拋物線的頂點坐標為 (2 ，0) ， 且經過點 (4 ， 1) ， 如圖 ， 直線 y ＝14x 與拋物線交于 A ， B 兩點 ， 直線 l 為 y ＝－ 1.(1) 求拋物線的解析式； (2) 在 l 上是否存在一點 P ， 使 PA ＋ PB 取得最小值？若存在 ， 求出點 P 的坐標；若不存在 ， 請說明理由 ． 【思路點撥】 ( 1) 根據題意 ， 可設拋物線的解析式為 y ＝ a ( x － 2)2， 然后將點 (4 ，1) 代入拋物線的解析式 ， 利用待定系數法即可求出拋物線的解析式； ( 2) 要求 PA ＋ P B的最小值 ， 需先找到點 P 的正確位置 ． 作點 B 關于直線 l 的對稱點 B ′ ， 然后根據 “ 兩點之間線段最短 ” ， 可知連接 AB ′ 交直線 l 于一點 ， 該點即為所求的點 P .求出直線 AB ′的解析式 ， 再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點 P 的坐標 ．解： ( 1) ∵ 拋物線的頂點坐標為 (2 ， 0) ，∴ 設拋物線的解析式為 y ＝ a ( x － 2)2.將 (4 ， 1) 代入 y ＝ a ( x － 2)2中 ， 得 1 ＝ a (4 － 2)2，解得 a ＝14.∴ 拋物線的解析式為 y ＝14( x － 2)2＝14x2－ x ＋ 1.【自主作答】 ( 2) 聯立直線 AB 與拋物線的解析式 ， 得y ＝14x ，y ＝14x2－ x ＋ 1 ，解得x 1 ＝ 1 ，y 1 ＝14或x 2 ＝ 4 ，y 2 ＝ 1.∴ 點 A 的坐標為 (1 ，14) ， 點 B 的坐標為 (4 ， 1) ．作點 B 關于直線 l 的對稱點 B ′ ， 連接 AB ′ 交直線 l 于點 P ， 此時 PA ＋ PB 取得最小值 ， 如解圖所示 ．∵ B (4 ， 1) ， 直線 l 為 y ＝－ 1 ，∴ 點 B ′ 的坐標為 (4 ， － 3) ．設直線 AB ′ 的解析式為 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) ．將 A (1 ，14) ， B ′ (4 ， － 3) 代入 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) 中 ， 得k ＋ b ＝14，4 k ＋ b ＝－ 3 ，解得k ＝－1312，b ＝43.∴ 直線 AB ′ 的解析式 為 y ＝－1312x ＋43. 在 y ＝－1312x ＋43中 ， 令 y ＝－ 1 ， 得－1312x ＋43＝－ 1 ， 解得 x ＝2813. ∴ 點 P 的坐標為 (2813， － 1) ． 二次函數中的線段問題主要分為： 1. 線段間的數量關系； 2. 線段的最值問題 . ? 1 ? 線段間的數量關系： ① 線段平行于 x 軸或 y 軸時 ， 往往需要設出與關鍵 點有關的未知數 ? 通常是某一個跟所求線段關系緊密的點的橫坐標 ? ， 通過題中的函數和圖形關系 ， 用該點的橫坐標表示出相關點的縱坐標 ， 然后用橫坐標差的絕對值或縱坐標差的絕對值表示線段長 ? 注意：無論橫坐標差的絕對值還是縱坐標差的絕對值 ， 一律用大坐標減去小坐標 ， 在表示線段長時 ， 減少了去絕對值的麻煩 ， 也能保證線段長的正確性 ? ； ② 線段是一般線段時 ， 通常用到兩點坐標公式 ， 此種情況相對第 ① 種情況較少 ， 但仍需要了解兩點坐標公式； ? 2 ? 線段的最值問題：線段長的最值 ， 周長的最值 ， 面積的最值 ， 是線段問題的延伸 ， 最終都可歸結為用點坐標表 示出線段長 ， 周長和面積后 ， 將表達式通過配方法轉化為頂點式 ， 從而獲得最值 ， 但需要考慮自變量的取值范圍 ， 有時在頂點處取得最值 ，有時并非在頂點處取得最值 . 類型二 面積問題( 20 18 178。 資陽 ) 已知 ： 如圖 ， 拋物 線 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 與坐標軸分別交于 點 A (0 ，6) ， B (6 ， 0) ， C ( － 2 ， 0) ， 點 P 是線段 AB 上方拋物線上的一個動點 ．( 1) 求拋物線的解析式；( 2) 當點 P 運動到什么位置時 ， △ P A B 的面積有最大值？( 3) 過點 P 作 x 軸的垂線 ， 交線段 AB 于點 D ， 再過點 P 作 PE ∥ x 軸交拋物線于點 E ， 連接 DE ， 請問是否存在點 P ， 使 △ P D E 為等腰直角三角形？若存在 ， 求出 點P 的坐標；若不存在 ， 說明理由 ．【思路點撥 】 ( 1) 根據拋物線過點 B (6 ， 0) ， C ( － 2 ， 0) ， 可設出拋物線的雙交點式 ， 然后將 A (0 ， 6) 代入拋物線的解析式 ， 利用待定系數法即可求出拋物線的解析式 ；( 2) 過點 P 作 PM ⊥ OB 于點 M ， 交 AB 于點 N ， 作 AG ⊥ PM 于點 G ， 用含 t 的式子表示出點 P 的坐標 ． 將 △ P A B 的面積分為 △ P A N 和 △ P B N 的面積之和 ， 然后利用點坐標表示出相應的線段長 ( 即用含 t 的式子表示出線段 PN 的長 ) ， 列出關于 t 的函數關系式 ， 利用函數的性質 ， 即可求得當 △ P A B 的面積有最大值時點 P 的位置； ( 3) △ PD E為等腰直角三角形 ， 且由題易證 ∠ D P E ＝ 90 176。 ， 從而可得 PD ＝ PE .用含 a 的式子表示出點 P 的坐標 ， 然后用含 a 的式子表示出線段 PD ， PE 的長 ， 列出關于 a 的方程 ， 解方程即可得到答案 ．解： ( 1) ∵ 拋物線過點 B (6 ， 0) ， C ( － 2 ， 0) ，∴ 設拋物線的解析式為 y ＝ a ( x － 6) ( x ＋ 2) ．將點 A (0 ， 6) 代入 ， 得－ 12 a ＝ 6 ，解得 a ＝－12，∴ 拋物線的解析式為 y ＝－12( x － 6) ( x ＋ 2) ＝－12x2＋ 2 x ＋ 6.【自主作答】 ( 2) 過點 P 作 PM ⊥ OB 于點 M ， 交 AB 于點 N ， 作 AG ⊥ PM 于點 G ， 如解圖 1 所示 ．設直線 AB 的解析式為 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) ，將點 A (0 ， 6) ， B (6 ， 0) 代入 ， 得b ＝ 6 ，6 k ＋ b ＝ 0 ，解得k ＝－ 1 ，b ＝ 6.∴ 直線 AB 的解析式為 y ＝－ x ＋ 6.設 P ( t ， －12t2＋ 2 t ＋ 6) ， 其中 0 ＜ t ＜ 6 ， 則 N ( t， － t ＋ 6) ，∴ PN ＝－12t2＋ 2 t ＋ 6 － ( － t ＋ 6) ＝－