山東省20xx中考數(shù)學(xué)第三章函數(shù)第六節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件(已修改)
2025-06-26 16:50 本頁(yè)面
【正文】 考點(diǎn)一 線段 、 周長(zhǎng)問(wèn)題 例 1 (2022濱州中考 )如圖 ， 直線 y＝ kx＋ b(k， b為常數(shù) )分別與 x軸 、 y軸交于點(diǎn)A(－ 4， 0)， B(0， 3)， 拋物線 y＝－ x2＋ 2x＋ 1與 y軸交于點(diǎn) C. (1)求直線 y＝ kx＋ b的函數(shù)解析式； (2)若點(diǎn) P(x， y)是拋物線 y＝－ x2＋ 2x＋ 1上的任意一點(diǎn) ， 設(shè)點(diǎn) P到直線 AB的距離為 d， 求 d關(guān)于 x的函數(shù)解析式 ， 并求 d取最小值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)； (3)若點(diǎn) E在拋物線 y＝－ x2＋ 2x＋ 1的對(duì)稱軸上移動(dòng) ， 點(diǎn) F在直線 AB上移動(dòng) ， 求 CE＋ EF的最小值 ． 【 分析 】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線解析式； (2)利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得到 d與 x的函數(shù)關(guān)系 式 ， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn) P的坐標(biāo)； (3)先確定點(diǎn) E的位置 ， 再利用 (2)中的結(jié)論解答即可 ． 【 自主解答 】 (1)∵y ＝ kx＋ b經(jīng)過(guò) A(－ 4， 0)， B(0， 3)， ∴ 直線的函數(shù)解析式為 y＝ x＋ 3. (2)如圖，過(guò)點(diǎn) P作 PH⊥AB 于點(diǎn) H，過(guò)點(diǎn) H作 x軸的平行線 MN，分別過(guò)點(diǎn) A， P作 MN的垂線段，垂足分別為 M， N. 設(shè) H(m， m＋ 3)， 則 M(－ 4， m＋ 3)， N(x， m＋ 3)， P(x， － x2＋ 2x＋ 1)． ∵ PH⊥AB ， ∴∠ PHN＋ ∠ AHM＝ 90176。 . ∵AM⊥MN ， ∴∠ MAH＋ ∠ AHM＝ 90176。 ， ∴∠ MAH＝ ∠ PHN. ∵∠AMH ＝ ∠ PNH＝ 90176。 ， ∴ △ AMH∽ △ HNP. (3)如圖 ， 作點(diǎn) C關(guān)于直線 x＝ 1的 對(duì)稱點(diǎn) C′ ， 過(guò)點(diǎn) C′ 作 C′ F⊥AB 于 F， 交拋物線的對(duì)稱軸 x＝ 1于點(diǎn) E， 此時(shí) CE＋ CF的值最小 ． 根據(jù)對(duì)稱性 ， 易知點(diǎn) C′ (2， 1)． ∵ 點(diǎn) C′ 在拋物線上 ， ∴ 由 (2)得 ， C′ F＝ 即 CE＋ EF的最小值為 1． 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 拋物線與 x軸交于點(diǎn) A(－ 1， 0)和點(diǎn) B(1， 0)， 直線 y＝ 2x－ 1與 y軸交于點(diǎn) C， 與拋物線交于點(diǎn) C， D. (1)求拋物線的解析式； (2)求點(diǎn) A到直線 CD的距離； (3)平移拋物線 ， 使拋物線的頂點(diǎn) P在直線 CD上 ， 拋物線與直線 CD的另一個(gè)交點(diǎn)為Q， 點(diǎn) G在 y軸正半軸上 ， 當(dāng)以 G， P， Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí) ，求出所有符合條件的 G點(diǎn)的坐標(biāo) ． 解： (1)直線 y＝ 2x－ 1， 當(dāng) x＝ 0時(shí) ， y＝－ 1， 則點(diǎn) C坐標(biāo)為 (0， － 1)． 設(shè)拋物線的解析式為 y＝ ax2＋ bx＋ c. ∵ 點(diǎn) A(－ 1， 0)， B(1， 0)， C(0， － 1)在拋物線上 ， ∴ 拋物線的解析式為 y＝ x2－ 1. (2)直線 y＝ 2x－ 1，當(dāng) y＝ 0時(shí)， x＝ . 如圖，過(guò)點(diǎn) A作 AF⊥CD 于點(diǎn) CD交 x軸于點(diǎn) E， 則 E( ， 0)． (3)∵ 平移后拋物線的頂點(diǎn) P在直線 y＝ 2x－ 1上 ， ∴ 設(shè) P(t， 2t－ 1)， 則平移后拋物線的解析式為 y＝ (x－ t)2＋ 2t－ 1. 聯(lián)立 化簡(jiǎn)得 x2－ (2t＋ 2)x＋ t2＋ 2t＝ 0， 解得 x1＝ t， x2＝ t＋ 2， 即點(diǎn) P， Q的橫坐標(biāo)相差 2， △ GPQ為等腰直角三角形 ， 可能有以下情形： ① 若點(diǎn) P為直角頂點(diǎn) ， 如圖 1， 則 PG＝ PQ＝ ∴ OG＝ CG－ OC＝ 10－ 1＝ 9， ∴ G(0， 9)． ② 若點(diǎn) Q為直角頂點(diǎn) ， 如圖 2， 則 QG＝ PQ＝ 同理可得 G(0， 9
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