數(shù)學(xué)本質(zhì)概念——角(已修改)
2025-06-19 19:15 本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)本質(zhì)概念－角－純數(shù)四陳映妤一、 分年細(xì)目中的「角」3s04能認(rèn)識角，并比較角的大小。（同3n17） 4s01能運(yùn)用「角」與「邊」等構(gòu)成要素，辨認(rèn)簡單平面圖形。4s04能認(rèn)識「度」的角度單位，使用量角器實(shí)測角度或畫出指定的角。（同4n14）4s05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。4s06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。4s07能由直角、垂直與平行的概念，認(rèn)識簡單平面圖形。二、 「角」的概念 數(shù)學(xué)上的角概念和日常生活中所談到的角，所表示的意義有時是不太一樣的。兒童角概念的認(rèn)知，有其發(fā)展的順序性，先由具體的經(jīng)驗(yàn)、察覺，漸進(jìn)發(fā)展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以闡釋，再說明兒童的學(xué)習(xí)發(fā)展特征及指導(dǎo)原則。一般生活中所說的角概念 一般人對角的認(rèn)識，常是真正角概念的局部：一個角有個線段當(dāng)作邊，兩邊中夾著一塊區(qū)域，產(chǎn)生一個尖尖的頂點(diǎn)。此外，常以角的頂點(diǎn)或頂點(diǎn)的鄰近區(qū)域來描述角，如桌角，墻角，三角形上的角，四邊形上的角，.....，等，由于角的形象大都以有限度的對象呈現(xiàn)，因此，角的邊也常以線段表示。理想的角概念 從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)及數(shù)學(xué)上的定義，角的意義可分成以下三方面來說明(Michael )：(1)角是一雙定出兩個方向間的差量之射線。(2)角是自同一端點(diǎn)射出的兩射線圍出的一個平面區(qū)域。(3)角是一射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個程度的量。 因此，理想化的角概念，可簡單說成是自一點(diǎn)朝兩個不同的方向延伸出兩條射線的結(jié)構(gòu)，角的邊是射線而不是線段(在旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生角的情況下，雖然旋轉(zhuǎn)是一種動作，動作停止，其現(xiàn)象即消失，但它有一個起始方向和終止方向，此二方向可用兩條射線來表示)，此兩射線是制程角的張開活動的限制邊界。不論代表此射線的線段長短(此時的長短，只是線段的另一端點(diǎn)的不同而已)如何，均可完成同樣的限制活動?！ ∈聦?shí)上，平面上的有限圖形(如多邊形)中，并不包含任何角，而只包含了角頂點(diǎn)的鄰近區(qū)域。構(gòu)成角頂點(diǎn)的鄰近區(qū)域線段長度的不同，會使角頂點(diǎn)的鄰近區(qū)域有所不同。同時，角與角的內(nèi)部是共生的(二者同時出現(xiàn))，角的兩邊之張開程度大小，不因?yàn)檫呴L的差異而有所不同。三、 專家學(xué)者怎么看待「角度」單元內(nèi)容（一）心理學(xué)家談兒童「角」的認(rèn)知概念Piaget的角概念發(fā)展階段論 Piaget和Inhelder（1971）以三個有關(guān)角的測量設(shè)計(jì)來分析兒童角的概念，結(jié)果將兒童角的概念發(fā)展依年齡分成四個階段，分別是階段I（45歲）階段IIA（6歲）此兩階段僅能藉由視覺估測來畫圖形，無法運(yùn)用工具測量；階段IIB（67歲）能做長度測量，但不會做角度測量；階段IIIA（79歲），在復(fù)制角時，能以直尺維持線段的斜度，但無法覺察角的存在；階段IIIB（9歲9歲6個月）利用直角當(dāng)作參考角，以直線測量的方式，找出斜度和垂直底邊的高；階段IV（大于9歲6個月）能擺脫圖形本身的影響，畫出補(bǔ)助線和高，能將角的概念普遍化。 Vygotsky社會文化互動論 Vygotsky并未真正對兒童角概念進(jìn)行什么研究，但他提出二個很重要的名詞，是在教角概念時必須要思考的問題，一個是自發(fā)性的概念（spontaneous concepts），這是一種由下而上，透過具體，每天的生活經(jīng)驗(yàn)所獲得的知識，像「桌角尖尖的，要小心」，便是對角概念所產(chǎn)生的自發(fā)性概念；另一個是科學(xué)性的概念（scientific concepts），指的是一種抽象，系統(tǒng)化的知識，這種知識，往往經(jīng)由正式的學(xué)校教育來習(xí)得，它是一種由上而下的學(xué)習(xí)，必須藉由文字當(dāng)中介，例如數(shù)學(xué)中，角的構(gòu)成要素是始邊、終邊、支點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的區(qū)域，這種科學(xué)性的概念，兒童無法直接看到，必須藉由文字或語言來學(xué)習(xí)，所以教師教學(xué)時，要能從兒童自發(fā)性概念，引導(dǎo)到科學(xué)性的概念，才能協(xié)助兒童對科學(xué)概念學(xué)習(xí)，發(fā)展出較高的知覺、抽象和控制的思考能力。（二）數(shù)學(xué)家談「角」的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 Van Hiele的幾何思考階段論 Van Hiele夫婦提出兒童對于幾何學(xué)習(xí)是具有五個不同的思考發(fā)展階段，每個階段有其不同的特征，若經(jīng)由適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)可從較低階段的幾何思考，到較高階段的嚴(yán)密性思考，各發(fā)展階段特征如下（朱建正，2002a；Clements amp。 Battista,1992）：（1）階段零: 視覺期（visualization）即依圖形的外在特征來判別，其所關(guān)注的要素是外形輪廓。 ?。?）階段一：分析期（analysis） 能從圖形的特質(zhì)與特質(zhì)間的關(guān)系來分析圖形，也可以從圖形的部份或整體來分析圖形的構(gòu)成要素。（3）階段二：關(guān)系期（relation）或非形式演繹期（informal deduction） 此期兒童可以透過非正式的論證，把先前發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做邏輯地聯(lián)結(jié)， 能進(jìn)一步探索圖形內(nèi)在特質(zhì)關(guān)系，及各圖形間的包含關(guān)系， （4）階段三：正式演繹期（formal deduction） 此階段兒童能以演繹邏輯技巧為思考，分析與證明一些公設(shè)系統(tǒng)。（5）階段四：精確期（rigor）或公理性（axiomatic） 可以在不同的公設(shè)系統(tǒng)中建立定理，并分析和比較這些系統(tǒng)的特性。Close的兩種角定義
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