排列組合與二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)教材(已修改)
2025-06-19 18:58 本頁(yè)面
【正文】 高考數(shù)學(xué) 《排列、組合與二項(xiàng)式定理》 第一輪復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理一、高考要求:掌握分類計(jì)數(shù)原理及分步計(jì)數(shù)原理,并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.二、知識(shí)要點(diǎn):(又稱加法原理):完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有種不同的方法,在第2類辦法中有種不同的方法,……,在第n類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.(又稱乘法原理):完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.三、典型例題:例1: (1)有紅、黃、白色旗子各n面(n＞3),取其中一面、二面、三面組成縱列信號(hào),可以有多少不同的信號(hào)？(2)有1元、2元、5元、10元的鈔票各一張,取其中一張或幾張,能組成多少種不同的幣值？(1)解 因?yàn)榭v列信號(hào)有上、下順序關(guān)系,所以是一個(gè)排列問(wèn)題,信號(hào)分一面、二面、三面三種情況(三類),各類之間是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗:共有3種信號(hào)。②升二面旗:要分兩步,連續(xù)完成每一步,信號(hào)方告完成,而每步又是獨(dú)立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重復(fù)使用,故共有33種信號(hào)。③升三面旗:有N=333種信號(hào),所以共有39種信號(hào).(2)解 計(jì)算幣值與順序無(wú)關(guān),所以是一個(gè)組合問(wèn)題,有取一張、二張、三張、四張四種情況,它們彼此互斥的,用加法原理,因此,不同幣值有N=+++=15(種).例4: (1)5本不同的書放在3個(gè)不同的書包中,有多少種不同的方法？(2)3個(gè)旅客在5家旅店住宿,有多少種不同的方法？ (1)解 每本書有3種不同方法,共有35=243種. (2)解 每個(gè)人有5種選擇,共有53=125種.四、歸納小結(jié):兩個(gè)基本原理的共同點(diǎn)是,都是研究“完成一件事,共有多少種不同的方法”,它們的區(qū)別在于一個(gè)與“分類”有關(guān),一個(gè)與“分步”,這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的,無(wú)論哪一種辦法中的哪一種都能單獨(dú)的完成這件事,求完成這件事的方法種數(shù),就用分類計(jì)數(shù)原理。如果完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,各個(gè)步驟都不可缺少,需要完成所有的步驟才能完成這件事,而完成每一個(gè)步驟又各有若干方法,求完成這件事方法的種數(shù),就用分步計(jì)數(shù)原理.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. 將5封信投入3個(gè)郵筒,不同的投法共有( ) 2. 將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子,其中每個(gè)盒子都不空的放法共有( ) 3. 已知集合M={1,1,3},N={4,5,6,7},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) 4. 用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)取）作和,則取出這些數(shù)的不同的和共有( ) (二)填空題:5. 由數(shù)字2，3，4，5可組成________個(gè)三位數(shù),_________個(gè)四位數(shù),________個(gè)五位數(shù).6. 用1，2，3…，9九個(gè)數(shù)字,可組成__________個(gè)四位數(shù),_________個(gè)六位數(shù).7. 從2，3，5，7這四個(gè)數(shù)中,取出兩數(shù)來(lái)作假分?jǐn)?shù),這樣的假分?jǐn)?shù)有_____ _個(gè).8. 全國(guó)移動(dòng)電話號(hào)碼從1999年7月22日零時(shí)開始升到10位,前四位號(hào)碼為1390,剩下的位數(shù)碼從0，1，2，…，9中任取6個(gè)數(shù)字組成(可以重復(fù)),該方案的移動(dòng)電話用戶最多能容納 戶.9. 商店里有15種上衣,18種褲子,某人要買一件上衣或一條褲子,、褲子各一件,共有_________種不同的選法.10. 現(xiàn)有甲組3人,乙組3人,兩組進(jìn)行乒乓球單打?qū)?甲組每人必須和乙組每人賽一場(chǎng)),一共有比賽的場(chǎng)數(shù)是 .(三)解答題:11. 有不同的數(shù)學(xué)書11本,不同的物理書8本,不同的化學(xué)書5本,從中取出不同學(xué)科的書2本,有多少種不同的取法？12. 用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字,(1)組成比1000小的正整數(shù)有多少種不同的方法?(2)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有多少種不同的方法?13. 五封不同的信投入四個(gè)郵筒,(1)隨便投完五封信,有多少種不同投法?(2)每個(gè)郵筒中至少要有一封信,有多少種不同投法? 排列一、高考要求:理解排列的意義,掌握排列數(shù)的計(jì)算公式,并能用它解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.二、知識(shí)要點(diǎn):1. 一般地,從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,＜n,這樣的排列叫做選排列,如果m=n,這樣的排列叫做全排列.2. 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)(或)表示.3. 排列數(shù)公式:,其中,且m≤n.全排列的排列數(shù)等于自然數(shù)1到n的連乘積,這個(gè)連乘積叫做n的階乘,用n!表示,即.!=1.三、典型例題:例: ⑴ 7位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法？解:問(wèn)題可以看作:7個(gè)元素的全排列——＝5040⑵ 7位同學(xué)站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？解:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:7654321＝7！＝5040⑶ 7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？解:問(wèn)題可以看作:余下的6個(gè)元素的全排列——=720⑷ 7位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:第一步 甲、乙站在兩端有種。第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種,則共有=240種排列方法⑸ 7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一(直接法):第一步 從(除去甲、乙)其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法。第二步 從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有種方法 所以一共有＝2400種排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排頭有種方法。若乙站在排尾有種方法。,乙不能排在排尾的排法共有＋=2400種.小結(jié)一:對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題,常使用“直接法”或“排除法”,對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.(6)7位同學(xué)站成一排,甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解:先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素(同學(xué))一起進(jìn)行全排列有種方法。再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”＝1440種.(7) 7位同學(xué)站成一排,甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解:方法同上,一共有＝720種.(8) 7位同學(xué)站成一排,甲、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有種方法。將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法。最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”＝960種方法.解法二:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,若丙站在排頭或排尾有2種方法,所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法.解法三:將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因丙
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1