多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題及答案(已修改)
2025-06-19 17:11 本頁(yè)面
【正文】 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(A)1．填空題(1)若在區(qū)域上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)， ，則在上， 。(2)函數(shù)在點(diǎn)處可微的 條件是在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在。(3)函數(shù)在點(diǎn)可微是在點(diǎn)處連續(xù)的 條件。2．求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)3．求下列各極限(1)； (2)； (3) 4．設(shè)，求及。5．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)；(2)；(3)。6．設(shè)，，求全導(dǎo)數(shù)。7．設(shè)，，求。8．曲線，在點(diǎn)(2,4,5)處的切線對(duì)于軸的傾角是多少？9．求方程所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。10．設(shè)，求所有二階偏導(dǎo)數(shù)。11．設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求。12．設(shè)，求。13．設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求。14．設(shè)，求全微分。15．求函數(shù)在點(diǎn)的全微分。16．利用全微分求的近似值。17．求拋物面與拋物柱面的交線上的點(diǎn)處的切線方程和平面方程。18．求曲面上點(diǎn)處的切平面方程和法線方程。19．求曲線，上點(diǎn)，使在該點(diǎn)處曲線的切線平行于平面。20．求函數(shù)的極值。21．求函數(shù)的極值。22．要建造一個(gè)容積為10立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體貯水池，底面材料單價(jià)每平方米20元，側(cè)面材料單價(jià)每平方米8元。問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)尺寸，方便材料造價(jià)最??？ (B)1．求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)2．(1)設(shè)，求。 (2)設(shè)，求3．求下列函數(shù)的極限(1)；(2) 4．設(shè)，問(wèn)是否存在？5．討論函數(shù)的連續(xù)性，其中。6．二元函數(shù)在點(diǎn)處：①連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；②連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；③不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；④不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。7．設(shè)，求。8．設(shè)，求。9．設(shè)，求。10．設(shè)，可微，求。11．設(shè)，求。12．設(shè)，求。13．設(shè)可微，求全微分。14．設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求，并由此求和。15．求的偏導(dǎo)數(shù)。16．設(shè)，求。17．設(shè)，求。18．求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)。19．求函數(shù)在點(diǎn)沿，在此 點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。20．求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。21．判斷題：(簡(jiǎn)單說(shuō)明理由)(1)就是在處沿軸的方向?qū)?shù)。 (2)若在處的偏導(dǎo)數(shù)，存在，則沿任一方向的方向?qū)?shù)均存在。22．證明曲面上任意一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距的平方為常數(shù)。23．證明：球面∑：上任意一點(diǎn)處的法線都經(jīng)過(guò)球心。24．求橢球面上的一點(diǎn)處的切平面與平面的交角。25．設(shè)，都是，的函數(shù)，的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，證明： 26．問(wèn)函數(shù)在處沿什么方向的方向?qū)ё畲?，并求此方向?qū)?shù)的最大值。27．求內(nèi)接于橢球面的最大長(zhǎng)方體的體積。28．某公司通過(guò)報(bào)紙和電視傳媒做某種產(chǎn)品的促銷(xiāo)廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷(xiāo)售收入與報(bào)紙廣告費(fèi)及電視廣告費(fèi)(單位：萬(wàn)元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式：，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。29．求函數(shù)的階麥克勞林公式，并寫(xiě)出余項(xiàng)。30．利用函數(shù)的2階泰勒公式，計(jì)算的近似值。 (C)1．證明。2．設(shè)，其中在點(diǎn)，鄰域內(nèi)連續(xù)，問(wèn)(1
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