【正文】 高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、 配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{a}中，asa+2asa+a?a=25，則 a＋a＝_______。2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. k1 B. k或k1 C. k∈R D. k＝或k＝13. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 04. 函數(shù)y＝log (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。 A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)5. 已知方程x+(a2)x+a1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____?！竞?jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3－。Ⅱ、示范性題組：例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對(duì)角線長(zhǎng)，將其配湊成兩已知式的組合形式可得?！窘狻吭O(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：。長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：＝＝＝5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍?！窘狻糠匠蘹＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2綜合起來(lái)，k的取值范圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤?！咀ⅰ?關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() ?！痉治觥?對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得?！窘狻坑蒩＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0 ，設(shè)ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ，所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 。【注】 本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()＋()后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到ω時(shí)進(jìn)行解題。假如本題沒(méi)有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。Ⅲ、鞏固性題組：1. 函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。A. 8 B. C. 2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α1) +(β1)的最小值是_____。A. － B. 8 C. 18 3. 已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。 4. 橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或65. 化簡(jiǎn)：2＋的結(jié)果是_____。A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 設(shè)F和F為雙曲線－y＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠FPF＝90176。，則△FPF的面積是_________。7. 若x－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為___________。8. 已知〈βα〈π，cos(αβ)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題)9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝Ax＋Bx＋C，給定m、n（mn）,且滿足A[(m+n)+ mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0 。 ① 解不等式f(x)0；② 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,nt)時(shí)，f(x)0 ？若不存在，說(shuō)出理由；若存在，指出t的取值范圍。10. 設(shè)s1，t1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),① 將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；② 若關(guān)于x的方程f(x)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα ，α∈[0,]，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問(wèn)題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和α∈[0,]。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：＝sinxcosx＋sinx+cosx的最大值是_________。(x＋1)＝log(4－x) （a1），則f(x)的值域是_______________。{a}中，a＝－1，aa＝a－a，則數(shù)列通項(xiàng)a＝___________。、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。＝3的解是_______________。(2－1) log(2－2)〈2的解集是_______________。【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y＝＋；2小題：設(shè)x＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log[(t1)＋4]，所以值域?yàn)?－∞,log4]；3小題：已知變形為－＝－1,設(shè)b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(1)＝－n，所以a＝－；4小題：設(shè)x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小題：設(shè)3＝y(tǒng)，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小題：設(shè)log(2－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)2，解得－2y1，所以x∈(log,log3)。Ⅱ、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，設(shè)S＝x＋y，求＋的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）【分析】 由S＝x＋y聯(lián)想到cosα＋sinα＝1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入①式求S和S的值?！窘狻吭O(shè)代入①式得： 4S－5Ssinαcosα＝5 解得 S＝ ；∵ 1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤∴ ＋＝＋＝＝此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻?由S＝x＋y，設(shè)x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 則xy＝177。代入①式得：4S177。5=5， 移項(xiàng)平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤∴ ＋＝＋＝＝【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S＝x＋y與三角公式cosα＋sinα＝1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值換元的思路，設(shè)x＝＋t、y＝－t，減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。例2． △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全國(guó)理）【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形內(nèi)角和等于180176?！钡男再|(zhì)，可得 ；由“A＋C＝120176?！边M(jìn)行均值換元，則設(shè) ，再代入可求cosα即cos。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,由A＋C＝120176。，設(shè)，代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝， 即：cos＝?！玖斫狻坑葾＋C＝2B，得A＋C＝120176。，B＝60176。所以＋＝－＝－2，設(shè)＝－＋m，＝－－m ，所以cosA＝，cosC＝，兩式分別相加、相減得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝?！咀ⅰ?本題兩種解法由“A＋C＝120176?！?、“＋＝－2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120176。，B＝60176。所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和積互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(AC)，即cos＝－cos(AC)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝ y , , － x例3. 設(shè)a0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinxcosx－2a的最大值和最小