【正文】 為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。必須要進(jìn)行三步：試值 → 猜想 → 證明。例2. 設(shè)a＝＋＋…＋ (n∈N),證明：n(n＋1)a (n＋1) 。假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即：k(k＋1)a (k＋1) ，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，k(k＋1)＋a(k＋1)＋,k(k＋1)＋k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2) a(k＋2)，即n＝k＋1時(shí)不等式也成立。為什么這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標(biāo)比較后的要求，也是遵循放縮要適當(dāng)?shù)脑瓌t。所以n(n＋1)a(n＋1)?！窘狻?設(shè)a－a＝d，猜測(cè)a＝a＋(n－1)d當(dāng)n＝1時(shí)，a＝a， ∴ 當(dāng)n＝1時(shí)猜測(cè)正確?！咀ⅰ?將證明等差數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)n成立的問(wèn)題。一般地，在數(shù)列問(wèn)題中含有a與S時(shí)，我們可以考慮運(yùn)用a＝S－S的關(guān)系，并注意只對(duì)n≥2時(shí)關(guān)系成立，象已知數(shù)列的S求a一類(lèi)型題應(yīng)用此關(guān)系最多。4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：coscos＝ (81年全國(guó)高考)5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。8. 設(shè)f(logx)＝ , ①.求f(x)的定義域； ②.在y＝f(x)的圖像上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線與x軸平行？證明你的結(jié)論。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無(wú)窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問(wèn)題。3. 點(diǎn)Z的虛軸上移動(dòng)，則復(fù)數(shù)C＝z＋1＋2ｉ在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的軌跡圖像為_(kāi)___________________。 A. 3 B. C. D. 2【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)2＝3＝5＝t，分別取5為底的對(duì)數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y2x5z；2小題：（理）A(2,3)為t＝0時(shí)，所求點(diǎn)為t＝177?！痉治觥坑蒩＋b＋c＝1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強(qiáng)，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力?！痉治觥?由“換元法”引入新的參數(shù)，即設(shè)（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ、θ為P、Q兩點(diǎn)，先計(jì)算k∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20。一般地，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程運(yùn)用“參數(shù)法”時(shí)，我們可以將點(diǎn)的x、y坐標(biāo)分別表示成為一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)，再運(yùn)用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。 S E D C O F A B—ABCD的側(cè)面與底面的夾角為β，相鄰兩側(cè)面的夾角為α,求證：cosα=cosβ。 設(shè)BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝＝, SC＝＝＝又 ∵BE＝＝＝在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。2. 函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。7. 若關(guān)于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，求實(shí)數(shù)a的值及方程的根。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄? 2. 已知a0,－1b0，那么a、ab、ab之間的大小關(guān)系是_____。 S C A O BⅡ、示范性題組：例1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)。即AC與平面SOB不垂直。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。所以當(dāng)a≥－1或a≤－時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根。例3. 給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝ (其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸； ②.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱圖像。② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝，即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。Ⅲ、鞏固性題組：1. 已知f(x)＝，求證：當(dāng)x≠x時(shí)，f(x)≠f(x)。5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個(gè)根的絕對(duì)值均小于1。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：5. 設(shè)命題甲：0x5；命題乙：|x－2|3，那么甲是乙的_____。(91年全國(guó))－5 －5－5 －5 9. 設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ13. 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____?！咀ⅰ?以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。由圖可知：① 當(dāng)1－m＝0時(shí)，有唯一解，m＝1。 y A D O B x C例2. 設(shè)|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值?！咀ⅰ?一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡(jiǎn)單明了。【分析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決?！竞?jiǎn)解】1小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲＝乙，選A。 ，也可能第三象限角 11. 已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)＝{θ|tgθsinθ}，那么E∩F的區(qū)間是_____。(92年全國(guó)理)A. 0ab1 B. 0ba1 C. ab1 D. ba17. 如果|x|≤,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類(lèi)：一類(lèi)是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類(lèi)是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類(lèi)是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于 。【注】對(duì)于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理，導(dǎo)出與已知a≠1互相矛盾?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小保僭O(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)。本題還用到了“判別式法”、“補(bǔ)集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)（△≥0）a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來(lái)，即求集合的并集。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾?！痉治觥拷Y(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_____。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問(wèn)題可能解決得十分干脆。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定→推理→否定”。在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類(lèi)，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。5. 求半徑為R的球的內(nèi)接圓錐的最大體積?！咀ⅰ?設(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計(jì)算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個(gè)作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問(wèn)題?！窘狻窟BAC、BD交于O，連SO；取BC中點(diǎn)F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。即|OP|＋|OQ|等于定值20?！咀ⅰ坑蓹E圓方程，聯(lián)想到a＋b＝1,于是進(jìn)行“三角換元”，通過(guò)換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問(wèn)題進(jìn)行研究?！窘狻坑桑?，設(shè)，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),則k連OP、OQ，若k【注】由“均值換元法”引入了三個(gè)參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡(jiǎn)化，是本題此種解法的一個(gè)技巧。5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減；6小題：設(shè)x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，選C。5. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，則f(x)的R上是______函數(shù)。2. （理）直線上與點(diǎn)A(2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是________。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。7. 已知數(shù)列{a}滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。cos2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 14＋27＋310＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。另外本題注意的一點(diǎn)是不能忽視驗(yàn)證n＝n＝2的正確性，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)遞推的基礎(chǔ)是n＝2時(shí)等式成立，因?yàn)橛?k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的條件是k≥2。假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2）時(shí)，猜測(cè)正確，即：a＝a＋(k－1)d ，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a＝S－S＝－，將a＝a＋(k－1)d代入上式， 得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因?yàn)閗≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1時(shí)猜測(cè)正確。 （94年全國(guó)文）【分析】 要證明{a}是等差數(shù)列，可以證明其通項(xiàng)符合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式，即證：a＝a＋(n－1)d 。主要是抓住對(duì)的分析，注意與目標(biāo)比較后，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小?！咀ⅰ?用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，注意適當(dāng)選用放縮法。n＝1時(shí)容易證得，n＝k＋1時(shí)，因?yàn)閍＝a＋,所以在假設(shè)n＝k成立得到的不等式中同時(shí)加上，再與目標(biāo)比較而進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s求解。此種解法與用試值猜想證明相比，過(guò)程十分簡(jiǎn)單，但要求發(fā)現(xiàn)＝－的裂項(xiàng)公式。本題的思路是從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問(wèn)題的常見(jiàn)證法，在數(shù)列問(wèn)題中經(jīng)常見(jiàn)到。當(dāng)n＝1時(shí)，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即：S＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立。4小題：計(jì)算出a＝a＝a＝a＝16再猜想a，選B；5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；6小題：答案k－1。 (94年上海高考) ＝6時(shí)該命題不成立 ＝6時(shí)該命題成立 ＝4時(shí)該命題不成立 ＝4時(shí)該命題成立4. 數(shù)列{a}中，已知a＝1，當(dāng)n≥2時(shí)a＝a＋2n－1，依次計(jì)算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_____。2…(2n－1) （n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_(kāi)____。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。8