【正文】 為目標，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。必須要進行三步：試值 → 猜想 → 證明。例2. 設a＝＋＋…＋ (n∈N),證明：n(n＋1)a (n＋1) 。假設當n＝k時不等式成立，即：k(k＋1)a (k＋1) ，當n＝k＋1時，k(k＋1)＋a(k＋1)＋,k(k＋1)＋k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2) a(k＋2)，即n＝k＋1時不等式也成立。為什么這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標比較后的要求，也是遵循放縮要適當?shù)脑瓌t。所以n(n＋1)a(n＋1)?！窘狻?設a－a＝d，猜測a＝a＋(n－1)d當n＝1時，a＝a， ∴ 當n＝1時猜測正確。【注】 將證明等差數(shù)列的問題轉化成證明數(shù)學恒等式關于自然數(shù)n成立的問題。一般地，在數(shù)列問題中含有a與S時，我們可以考慮運用a＝S－S的關系，并注意只對n≥2時關系成立，象已知數(shù)列的S求a一類型題應用此關系最多。4. 用數(shù)學歸納法證明等式：coscos＝ (81年全國高考)5. 用數(shù)學歸納法證明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。8. 設f(logx)＝ , ①.求f(x)的定義域； ②.在y＝f(x)的圖像上是否存在兩個不同點，使經(jīng)過這兩點的直線與x軸平行？證明你的結論。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)法解題的關鍵是恰到好處地引進參數(shù)，溝通已知和未知之間的內在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。3. 點Z的虛軸上移動，則復數(shù)C＝z＋1＋2ｉ在復平面上對應的軌跡圖像為____________________。 A. 3 B. C. D. 2【簡解】1小題：設2＝3＝5＝t，分別取5為底的對數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y2x5z；2小題：（理）A(2,3)為t＝0時，所求點為t＝177。【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強，多次練習，可以提高我們的代數(shù)變形能力?！痉治觥?由“換元法”引入新的參數(shù)，即設（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ、θ為P、Q兩點，先計算k∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20。一般地，求動點的軌跡方程運用“參數(shù)法”時，我們可以將點的x、y坐標分別表示成為一個或幾個參數(shù)的函數(shù)，再運用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。 S E D C O F A B—ABCD的側面與底面的夾角為β，相鄰兩側面的夾角為α,求證：cosα=cosβ。 設BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝＝, SC＝＝＝又 ∵BE＝＝＝在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。2. 函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。7. 若關于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，求實數(shù)a的值及方程的根。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。再根據(jù)“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立。在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧薄? 2. 已知a0,－1b0，那么a、ab、ab之間的大小關系是_____。 S C A O BⅡ、示范性題組：例1. 如圖，設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。即AC與平面SOB不垂直。試求實數(shù)a的取值范圍。所以當a≥－1或a≤－時，三個方程至少有一個方程有實根。例3. 給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝ (其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； ②.這個函數(shù)的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝，即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。Ⅲ、鞏固性題組：1. 已知f(x)＝，求證：當x≠x時，f(x)≠f(x)。5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小于1。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學。數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：5. 設命題甲：0x5；命題乙：|x－2|3，那么甲是乙的_____。(91年全國)－5 －5－5 －5 9. 設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ13. 如果實數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。由圖可知：① 當1－m＝0時，有唯一解，m＝1。 y A D O B x C例2. 設|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值?！咀ⅰ?一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質等進行討論時，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡單明了?！痉治觥繉?shù)方程進行等價變形，轉化為一元二次方程在某個范圍內有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進行解決?！竞喗狻?小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲＝乙，選A。 ，也可能第三象限角 11. 已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)＝{θ|tgθsinθ}，那么E∩F的區(qū)間是_____。(92年全國理)A. 0ab1 B. 0ba1 C. ab1 D. ba17. 如果|x|≤,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。數(shù)學中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結合?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。第二章 高中數(shù)學常用的數(shù)學思想一、數(shù)形結合思想方法中學數(shù)學的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數(shù)形結合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于 。【注】對于“不平行”的否定性結論使用反證法，在假設“平行”的情況下，容易得到一些性質，經(jīng)過正確無誤的推理，導出與已知a≠1互相矛盾?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小保僭O“平行”后得出矛盾從而推翻假設。本題還用到了“判別式法”、“補集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（△≥0）a的取值范圍，再將三個范圍并起來，即求集合的并集。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案。例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾?！痉治觥拷Y論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設“垂直”后再導出矛盾后，再肯定“不垂直”。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。5. 求半徑為R的球的內接圓錐的最大體積?！咀ⅰ?設參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個作用，即設參數(shù)輔助解決有關問題。【解】連AC、BD交于O，連SO；取BC中點F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。即|OP|＋|OQ|等于定值20?！咀ⅰ坑蓹E圓方程，聯(lián)想到a＋b＝1,于是進行“三角換元”，通過換元引入新的參數(shù)，轉化成為三角問題進行研究?！窘狻坑桑?，設，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),則k連OP、OQ，若k【注】由“均值換元法”引入了三個參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進行了簡化，是本題此種解法的一個技巧。5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減；6小題：設x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，選C。5. 設函數(shù)f(x)對任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x0時，f(x)0，則f(x)的R上是______函數(shù)。2. （理）直線上與點A(2,3)的距離等于的點的坐標是________。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學中運動與變化的思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學數(shù)學的各個分支。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。7. 已知數(shù)列{a}滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。cos2. 用數(shù)學歸納法證明： 14＋27＋310＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。另外本題注意的一點是不能忽視驗證n＝n＝2的正確性，用數(shù)學歸納法證明時遞推的基礎是n＝2時等式成立，因為由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的條件是k≥2。假設當n＝k（k≥2）時，猜測正確，即：a＝a＋(k－1)d ，當n＝k＋1時，a＝S－S＝－，將a＝a＋(k－1)d代入上式， 得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因為k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1時猜測正確。 （94年全國文）【分析】 要證明{a}是等差數(shù)列，可以證明其通項符合等差數(shù)列的通項公式的形式，即證：a＝a＋(n－1)d 。主要是抓住對的分析，注意與目標比較后，進行適當?shù)姆糯蠛涂s小?！咀ⅰ?用數(shù)學歸納法解決與自然數(shù)有關的不等式問題，注意適當選用放縮法。n＝1時容易證得，n＝k＋1時，因為a＝a＋,所以在假設n＝k成立得到的不等式中同時加上，再與目標比較而進行適當?shù)姆趴s求解。此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡單，但要求發(fā)現(xiàn)＝－的裂項公式。本題的思路是從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學歸納法進行嚴格證明，這是關于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。當n＝1時，等式顯然成立；假設當n＝k時等式成立，即：S＝，當n＝k＋1時，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，當n＝k＋1時等式也成立。4小題：計算出a＝a＝a＝a＝16再猜想a，選B；5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；6小題：答案k－1。 (94年上海高考) ＝6時該命題不成立 ＝6時該命題成立 ＝4時該命題不成立 ＝4時該命題成立4. 數(shù)列{a}中，已知a＝1，當n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達式是_____。2…(2n－1) （n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。五、數(shù)學歸納法歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。8