【正文】 一、灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生與應(yīng)用 1982年我國(guó)學(xué)者鄧聚龍先生創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論， 目前許多國(guó)家及國(guó)際組織的知名學(xué)者從事灰色系統(tǒng)的理 論和應(yīng)用研究工作。 灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、 能源、交通、地質(zhì)、石油、氣象、水利等眾多領(lǐng)域，成 功地解決了大量的實(shí)際問(wèn)題。 第一章：灰色系統(tǒng)的概念與基本原理 二、灰色系統(tǒng)與幾種不確定問(wèn)題方法的比較。 模糊數(shù)學(xué) 著重研究 “ 認(rèn)知不確定 ” 問(wèn)題，其研究對(duì)象 具有 “ 內(nèi)涵明確，外延不明確 ” 的特點(diǎn)。主要 憑借經(jīng)驗(yàn) ， 借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理 。 概率統(tǒng)計(jì) 研究的是 “ 隨機(jī)不確定 ” 現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計(jì) 規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之 “ 隨機(jī)不確定 ” 現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，其出發(fā)點(diǎn)是， 大 樣本，且對(duì)象服從某種典型分布 。 灰色系統(tǒng)研究的是 “ 部分信息明確，部分信息未知 ” 的 “ 小樣本，貧信息 ” 不確定性系統(tǒng)，它通過(guò)對(duì)已知 “ 部分 ” 信息的生成去開(kāi)發(fā)了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。著重研究 “ 外延 明確，內(nèi)涵不明確 ” 的對(duì)象。 項(xiàng)目 灰色系統(tǒng) 概率統(tǒng)計(jì) 模糊數(shù)學(xué) 研究對(duì)象 貧信息不確定 隨機(jī)不確定 認(rèn)知不確定 基礎(chǔ)集合 灰色朦朧集 康托集 模糊集 方法依據(jù) 信息覆蓋 映射 映射 途徑手段 灰序列生成 頻率分布 截集 數(shù)據(jù)要求 任意分布 典型分布 隸屬度可知 側(cè)重 內(nèi)涵 內(nèi)涵 外延 目標(biāo) 現(xiàn)實(shí)規(guī)律 歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律 認(rèn)知表達(dá) 特色 小樣本 大樣本 憑借經(jīng)驗(yàn) 2050年中國(guó)人口控制在 15億到 16億之間 樹(shù)高在 20米至 30米 第三章 序列算子與灰色序列生成 ? 灰色系統(tǒng)理論是通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的 ,這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑 ,稱(chēng)之為灰色序列生成 ?一切灰色序列都可以通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性 ,顯現(xiàn)規(guī)律性 . ?算子 是處理數(shù)據(jù)的一種方法。 0123系列1 1 2 31 2 3 4圖3 . 202468系列1系列1 1 3 1 2 3 4定義 （序列算子的定義） 設(shè) X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列， D為作用于 X的算子， X經(jīng)過(guò)算子 D的作用后所得序列記為 稱(chēng) D為序列算子，稱(chēng) XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進(jìn)行多次，相應(yīng)的若 皆為序列算子，則稱(chēng) 為二階算子， 為三階算子， 為二階算子作用序列， 為三階算子作用序列。 )))(,)2(,)1(( dnxdxdxXD ??321 , DDD21DD 321 DDD 21DXD321 DDXD 序列算子 定義 設(shè)序列 若 則稱(chēng) 為緊鄰均值生成數(shù)，由緊鄰均值生成數(shù)構(gòu)成的序列 稱(chēng)為緊鄰均值生成序列。在 GM建模，常用緊鄰信息的均值生成， 它是以原始序列為基礎(chǔ)構(gòu)造新序列的方法。 注意：設(shè) 為 n元序列， Z為 X的緊鄰均值 生成序列，則 Z為 元序列： 無(wú)法由 X生成 z(1). ))(),2(),1(( nxxxX ??)1()()(* ??? kxkxkx)(* kx))(),2(),1(( nxxxX ??))(),3(),2(( nzzzZ ??1?n 均 值 生 成 累加生成算子和累減生成算子 定義 設(shè) 為原始序列 D為序列算子， 其中 則稱(chēng) D為 的一次累加生成算子，記為 1AGO （ Accumulating Generation Operator),稱(chēng) r階算子 為 的 r次 累加生成算子，記為 rAGO,習(xí)慣上，我們記 ))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ??)0(X)))(,)2(,)1(( )0()0()0()0( dnxdxdxDX ??????kinkixdkx1)0()0( ,2,1)。()( ?)0(XrD )0(X)))(,)2(,)1(( )1()1()1()1()0( dnxdxdxXDX ???)))(,)2(,)1(( )()()()()0( dnxdxdxXDX rrrrr ???其中 定義 設(shè) 為原始序列， D為序列算子， 其中， 則稱(chēng) D為 的一次累減生成算子， r 階算子 稱(chēng)為 的 r 次累減生成算子。 定理 累減算子是累加算子的逆算子。 ( ) ( 1 )1( ) ( ) 。 1 , 2 , ,krrix k x i k n?????(0)X( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ) , ( 2) , ( ) )X x x x n?( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ) , ( 2) , ( ) ) ,X D x d x d x n d?( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( 1 ) 。 1 , 2 , ,x k d x k x k k n? ? ? ?(0)X rD (0)X一般的抽象系統(tǒng)都包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。我們希望從眾多的因素中判斷出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。這些屬于系統(tǒng)分析的內(nèi)容，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析、方差分析、主成分分析等都可以用來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)分析。這些方法的不足之處是： 要求有大量的數(shù)據(jù)。 要求樣本服從某一種典型概率分布，各因素?cái)?shù)據(jù)與系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)之間呈線性關(guān)系且個(gè)因素之間彼此無(wú)關(guān)。 計(jì)算量大， 可能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況。 灰色關(guān)聯(lián)分析方法的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來(lái)判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。 對(duì)一個(gè)抽象系統(tǒng)或現(xiàn)象進(jìn)行分析，首先要選準(zhǔn)反映系統(tǒng)行為 特征的數(shù)據(jù)序列。我們稱(chēng)之為找系統(tǒng)行為的映射量，用映射量來(lái)間接地表征系統(tǒng)行為。比如： 國(guó)民平均受教育的年限 教育的發(fā)達(dá)程度 刑事案件的發(fā)案率 社會(huì)治安面貌和社會(huì)秩序 ?? 灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集 定義 設(shè) 為系統(tǒng)因素，其在序號(hào) k上的觀測(cè)數(shù)據(jù)為 則稱(chēng) 為因素 的行為 序列；若 k為時(shí)間序號(hào)， 為因素 在 k時(shí)刻的觀測(cè)數(shù) 據(jù)，則稱(chēng) 為因素 的行 為時(shí)間序列；若 k為指標(biāo)序號(hào)， 為因素 關(guān)于第 k個(gè) 指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，則稱(chēng) 為因素 的行為指標(biāo)序列。若 k為觀測(cè)對(duì)象序號(hào)， 為因素關(guān)于第 k個(gè)對(duì)象的觀測(cè)數(shù)據(jù)，則稱(chēng) 為因素 的行為橫向序列 iXnkkx i ,2,1),( ??))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX)(kxi iX))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX)(kxi iX))(,),2(),1(( nxxxX niii ??)(kxiiX))(,),2(),1(( nxxxX niii ??iX無(wú)論是時(shí)間序列數(shù)據(jù)、指標(biāo)序列數(shù)據(jù)還是橫向序列數(shù)據(jù)，都可 以用來(lái)做關(guān)聯(lián)分析。 定義 設(shè) 為因素 的 行為序列， 為序列算子，且 其中 則稱(chēng) 為初值化算子， 為原像， 為 在初值化算子 下的像，簡(jiǎn)稱(chēng)初值像。 ))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX1D))(,)2(,)1(( 1111 dnxdxdxXD ??nkxkxdkx iii ,2,1)。1(/)()( 1 ???1D iX 1DXi1DiX定義 設(shè) 為因素 的行為序列， 為序列算子，且 其中 則稱(chēng) 為均值化算子， 為 在均值化算子 下的像 ，簡(jiǎn)稱(chēng)均值像。 ))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX2D))(,)2(,)1(( 2222 dnxdxdxXD ??nkkxnXXkxdkx niiiiii ,2,1。)(1,)()(12 ???? ??2D 2DXiiX 2D定義 為因素 的 行為序列， 為序列算子，且 其中 則稱(chēng) 為區(qū)間化算子， 為區(qū)間值像。 命題 初值化算子 、均值化算子 和區(qū)間值化算子 皆可以使系統(tǒng)行為序列無(wú)量綱化，且在數(shù)量上規(guī)一。一般地， 不宜混合、重疊使用。 ))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX3D))(,)2(,)1(( 3333 dnxdxdxXD ??nkkxkxkxkxdkxiiiii ,2,1,)(m i n)(m a x)(m i n)()(3 ?????3D3DXi1D 2D 3D3D2D1D定義 設(shè) 為 因素 的行為序列， 為序列算子，且 其中 則稱(chēng) 為逆化算子， 為 在逆化算子 下的像 ，簡(jiǎn)稱(chēng)逆化像。 ]1