【正文】 第二章 誤差與不確定度 本章是測(cè)量技術(shù)中的基本理論，搞測(cè)量就得 與誤差打交道。 誤差的概念與表示方法 誤差 =測(cè)量值 真值 例如，在電壓測(cè)量中，電壓 真值 5V，測(cè)得的電壓為 ，則 誤差 = 5V = + 問題： 5V真值 怎么知道的？ 真值 是一個(gè)理想的概念。 真值客觀存在，卻難以獲得。 測(cè)量誤差 實(shí)際上對(duì) “ 真值 ” 的應(yīng)用通常是用以下三種辦法： ① 真值可由理論（或定義）給出 例 1： 三角形內(nèi)角和為 180度 α β γ γ=31?+121?+29? α+ =181? 用量角器分別量得三內(nèi)角為： β + 誤差 =181180=1? ② 用 “ 約定真值 ” 代替 “ 真值 ” ③ 用 “ 不確定度 ” 評(píng)定測(cè)量結(jié)果 實(shí)際測(cè)量中常把高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的實(shí)際 值作為真值使用。 “實(shí)際值” ≈ “約定真值”。 在本章第 3。 4。 5節(jié)中討論誤差時(shí)是基于“ 約定真值 ” 己知的條件下進(jìn)行的。 在本章第 6節(jié)中詳細(xì)討論。逆向思維，回避真值，研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，不能確定的范圍在微米量級(jí)。 3. 誤差的來(lái)源 ⑴ 儀器誤差 指針式儀表的零點(diǎn)漂移、刻度誤差以及非線性引起誤差； 數(shù)字式儀表的量化誤差（如 6位半的電壓表比 3位半量化誤差?。?； 比較式儀表中標(biāo)準(zhǔn)量本身的誤差 （如天平的砝碼）均為儀器誤差。 非線性 μ V mV ⑵ 方法誤差 由于測(cè)量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。 例如： 用普通模擬式萬(wàn)用表測(cè)量高阻上的電壓。 100k 1mA v 100k 100 ?50V V電壓表內(nèi)阻 習(xí)題 Rx，電壓表的內(nèi)阻為 RV，電流表的內(nèi)阻為 RI I V Rx (a) I V Rx (b) 對(duì)于圖 (a)： //39。V x x VxxV239。 xxxxV( R R ) I R RUR = = =I I R + RRR = R R =R + R?對(duì)于圖（ a）當(dāng)電壓表內(nèi)阻 RV很大時(shí)可選 a方案。 對(duì)于圖（ b）當(dāng)電流表內(nèi)阻 RI很小時(shí)可用 b方案。 ⑶ 理論誤差 測(cè)量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎(chǔ)上以及用近似值計(jì) 算測(cè)量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用諧振法測(cè)量 頻率時(shí)，常用的公式為 01f=2 π LC但實(shí)際上，回路電感 L中總存在損耗電阻 r，其準(zhǔn)確的公為 201 r Cf = 1 L2 π LC⑷ 影響誤差 由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱為影響誤差。 例如，環(huán)境溫度、預(yù)熱時(shí)間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾 等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。 ⑸ 人身誤差 由于測(cè)量者的分辨能力、疲勞程度、責(zé)任心等主觀因素，使測(cè) 量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確所引起的誤差。 研究誤差理論的目的 是分析產(chǎn)生誤差的原因和規(guī)律，識(shí)別誤差 的性質(zhì)，正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，在一定測(cè)量 條件下，盡力設(shè)法減少誤差， 保證測(cè)量誤差在容許的范圍內(nèi)。 誤差的表示方法 相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差 ： 定義：被測(cè)量的 測(cè)量值 x與其 真值 A0之差，稱為絕對(duì)誤差。 在實(shí)際測(cè)量中： “約定真值” ≈ “實(shí)際值” = A 表示 修正值：與絕對(duì)誤差大小相等，符號(hào)相反的量值稱為修正值， 一般用 C表示 大小 正負(fù) 單位 Δx =x－ A0 （ ） Δx=x－ A （ ） C=－ Δx=A－ x （ ） 2 相對(duì)誤差： 例： 用二只電壓表 V1和 V2分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓值。 V1 表測(cè)量 150伏，絕對(duì)誤差 Δx1=， V2 表測(cè)量 10伏， 絕對(duì)誤差 Δx2= 從絕對(duì)誤差來(lái)比較 Δx1 ＞ Δx2 誰(shuí)準(zhǔn)確？ x? 111Δ 177。 = 100% = 10% = 177。 1%U 150x? 222Δ 177。 = 10 0% = 10 0% = 177。 5%U 10用 相對(duì)誤差 便于比較 表示相對(duì)誤差 ?相對(duì)誤差可以有多種形式： x?0Δ= 100%Ax? Δ= 100%Axx? xΔ= 100%xx? m mΔ= 100% = S %真值相對(duì)誤差 實(shí)際值相對(duì)誤差 測(cè)量值（示值）相對(duì)誤差 滿度（或引用）相對(duì)誤差 常用 因通常 A0、 A、 X ΔX 故常用 X方便 測(cè)量值相對(duì)誤差 γx與滿度相對(duì)誤差 S%的關(guān)系： x x xx x xx x x x x x? m m mxmmΔ Δ Δ= 10 0% = 10 0% = 10 0% = 177。 S%xx? mx =177。 S % ↓↑測(cè)量值 x靠近滿量程值 xm相對(duì)誤差小 電工儀表將滿度相對(duì)誤差分為七個(gè)等級(jí)： 等級(jí) 177。 S% % % % % % % % 例：檢定量程為 1000μA的 ，在 500μA刻度上標(biāo) 準(zhǔn)表讀數(shù)為 499μA，問此電流表是否合格？ 解： x0=499μA x=500μA xm=1000μA xxx? 0mm 50 0 49 9= 10 0% = 10 0% = 0. 1% 0. 2%1000（ ） 用分貝（ dB）表示相對(duì)誤差 相對(duì)誤差也可用對(duì)數(shù)形式（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、 電壓的增益（衰減）的測(cè)量中。 功率 等電參數(shù)用 dB表示的相對(duì)誤差為 dBΔ xγ = 1 0 lg ( 1 + ) d Bx（ ） 電壓、電流 等參數(shù)用 dB表示的相對(duì)誤差為 dBΔ xγ = 2 0 lg ( 1 + )xx= 2 0 lg ( 1 + γ ) dB 誤差按性質(zhì)分類 隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差 粗大誤差 隨機(jī)誤差 不可預(yù)定方式變化的誤差（同 隨機(jī)變量 ） 系統(tǒng)誤差 按一定規(guī)律變化的誤差 粗大誤差 顯著偏離實(shí)際值的誤差 下面分別介紹比較嚴(yán)格的定義 系統(tǒng)誤差定義為：“ 在重復(fù)性條件下 (即測(cè)量條件不變 )，對(duì)同一被測(cè)量無(wú)限多次測(cè)量所得的結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差 ?！庇?ε表示系統(tǒng)誤差，即 x?1. 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：只要測(cè)量條件不變，誤差即為確定值，用多次測(cè)量求平均值的方法不能改變或消除系統(tǒng)誤差。 0Ax ?? ??（ ） 1211()nniix x xx x nnn? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? （ ） 隨機(jī)誤差定義為：“ 測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差 ?！庇?δ表示隨機(jī)誤差，即 2. 隨機(jī)誤差 ??? xx ii?隨機(jī)誤差定義表示：在重復(fù)性條件下，每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的誤差，簡(jiǎn)稱隨差。 隨機(jī)誤差的性質(zhì)類同于概率論中的隨機(jī)變量，故要用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行處理。 （ ） 3. 粗大誤差 在一定條件下， 測(cè)量值顯著偏離其真值（或約定真值）所對(duì)應(yīng)的誤差，稱為粗大誤差 。 粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是 讀數(shù)錯(cuò)誤 測(cè)量方法不對(duì) 瞬間干擾 儀器工作不正常等。 對(duì)粗大誤差的處理通常是 按一定的法則進(jìn)行剔除 由（ ）式誤差的定義： ? ? ? ?000iiiix x Ax x x Ax x x A??????? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 式（ ）表示誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)系。圖 。 （ ） 4. 三種誤差的關(guān)系 先要剔除粗大誤差，只剩下系統(tǒng)誤差和隨差。 系統(tǒng)誤差真值測(cè)量值的概率分布曲線概率密度誤差某次測(cè)量值隨機(jī)誤差測(cè)量值置信區(qū)間?x ix0Aksx ? ksx ??i?xP總體均值?x不確定度U U定量的概念： 盡量不要用具體數(shù)量來(lái)說(shuō)準(zhǔn)確度。例如：準(zhǔn)確度 10 mV 只能用某一等級(jí)或范圍來(lái)描述，例如：某電流表為 1級(jí)表（準(zhǔn)確度 1%） 測(cè)量準(zhǔn)確度 測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值的一致程度。 但由于真值難以獲得，故準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念。 測(cè)量正確度 無(wú)窮重復(fù)測(cè)量的平均值與參考值之間的一致性。 測(cè)量的正確度反過(guò)來(lái)說(shuō)明測(cè)得量中系統(tǒng)誤差大小的程度。 測(cè)量精密度 在規(guī)定條件下，對(duì)同一被測(cè)對(duì)象重復(fù)測(cè)量所得測(cè)得值間的一致程度。 測(cè)量的精密度用來(lái)定量表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。 系統(tǒng)誤差 ε 小，準(zhǔn)確度高 A 或 A Xi Xi 隨機(jī)誤差 δ 小 ，精密度高 A A 或 Xi 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，稱精確度高 A 或 Xi Xi 定性的概念： 測(cè)量的 重復(fù)性 在相同的測(cè)量條件下，對(duì)同一測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量結(jié)果之間的一致性，用 “ r” 表示。 也稱 等精度測(cè)量 同一個(gè)人、同一臺(tái)儀器、同一地點(diǎn)、同一方法，在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量。 例： 用數(shù)字電壓表測(cè)量電壓 16次。 測(cè)量的 復(fù)現(xiàn)性 在改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性。 也稱 再現(xiàn)性 換了個(gè)人，換了臺(tái)儀器，在另外的時(shí)間地點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，其結(jié)果不能超出的范圍， “ R” 表示。 例： 不同人用不同的電壓表測(cè)量市電，都是 220v左右。 隨機(jī)誤差 定義與性質(zhì) 隨機(jī)誤差 定義 ： ： “ 測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差 。 ” 隨機(jī)誤差概念 不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量） ??? xx ii?舉例： 對(duì)一電阻進(jìn)行 n=100次重復(fù)性測(cè)量 表 按大小排列的 重復(fù)性 測(cè)量結(jié)果 測(cè)量值 xi（ Ω） 相同測(cè)值出現(xiàn)次數(shù) mi 相同測(cè)值 出現(xiàn)的概率 Pi=mi/n 2 4 6 14 18 22 16 10 5 2 1 ?xP(x) μ x 0 隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從 正態(tài)分布 ，具有以下 4個(gè)特性 ： 對(duì)稱性 —— 絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù) 誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性 —— 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值 大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性 —— 絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的 機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限； 抵償性 —— 當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大， 隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。 ?x 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理 隨機(jī)誤差與隨機(jī)變量的類同關(guān)系 設(shè) x1， x2， … ， xi， … 為離散型隨機(jī)變量 X的可能取值，相應(yīng) 概率為 p1， p2， … ， pi， … 其級(jí)數(shù)和為 若 絕對(duì)收斂，則稱其和數(shù)為數(shù)學(xué)期望，記為 E(X) ii px?iii pxXE ????1)( 1??iipx1p1+x2p2+…+ xipi+…= iii px???1在統(tǒng)計(jì)學(xué)中， 期望與均值是同一概念 1211 nniix x xxxnn ?? ? ?????? ??? ?（ ） 算術(shù)平均值 與被測(cè)量的真值最為接近，由概率論的大數(shù)定律 可知，若測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加，則算術(shù)平均值 x必然趨于 實(shí)際值 。 、標(biāo)準(zhǔn)差 方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量可能值對(duì)期望的分散的特征值。 隨機(jī)變量 X的方差為 X與其期望 E（ X）之差的平方的期望， 記為 D（ X），即 2D ( ) = E { [ E ( X ) ] }XX例：兩批電池的測(cè)量數(shù)據(jù) 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 n X 0 X xi 〃 〃 〃 〃 n X 0 X xi 〃 〃 〃 〃 〃 〃