【正文】 第二章 誤差與不確定度 本章是測量技術中的基本理論，搞測量就得 與誤差打交道。 誤差的概念與表示方法 誤差 =測量值 真值 例如，在電壓測量中，電壓 真值 5V，測得的電壓為 ，則 誤差 = 5V = + 問題： 5V真值 怎么知道的？ 真值 是一個理想的概念。 真值客觀存在，卻難以獲得。 測量誤差 實際上對 “ 真值 ” 的應用通常是用以下三種辦法： ① 真值可由理論（或定義）給出 例 1： 三角形內角和為 180度 α β γ γ=31?+121?+29? α+ =181? 用量角器分別量得三內角為： β + 誤差 =181180=1? ② 用 “ 約定真值 ” 代替 “ 真值 ” ③ 用 “ 不確定度 ” 評定測量結果 實際測量中常把高一等級的計量標準測得的實際 值作為真值使用。 “實際值” ≈ “約定真值”。 在本章第 3。 4。 5節(jié)中討論誤差時是基于“ 約定真值 ” 己知的條件下進行的。 在本章第 6節(jié)中詳細討論。逆向思維，回避真值，研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長度，不能確定的范圍在毫米量級，而用游標卡尺測量，不能確定的范圍在微米量級。 3. 誤差的來源 ⑴ 儀器誤差 指針式儀表的零點漂移、刻度誤差以及非線性引起誤差； 數(shù)字式儀表的量化誤差（如 6位半的電壓表比 3位半量化誤差?。?； 比較式儀表中標準量本身的誤差 （如天平的砝碼）均為儀器誤差。 非線性 μ V mV ⑵ 方法誤差 由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。 例如： 用普通模擬式萬用表測量高阻上的電壓。 100k 1mA v 100k 100 ?50V V電壓表內阻 習題 Rx，電壓表的內阻為 RV，電流表的內阻為 RI I V Rx (a) I V Rx (b) 對于圖 (a)： //39。V x x VxxV239。 xxxxV( R R ) I R RUR = = =I I R + RRR = R R =R + R?對于圖（ a）當電壓表內阻 RV很大時可選 a方案。 對于圖（ b）當電流表內阻 RI很小時可用 b方案。 ⑶ 理論誤差 測量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎上以及用近似值計 算測量結果時所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用諧振法測量 頻率時，常用的公式為 01f=2 π LC但實際上，回路電感 L中總存在損耗電阻 r，其準確的公為 201 r Cf = 1 L2 π LC⑷ 影響誤差 由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱為影響誤差。 例如，環(huán)境溫度、預熱時間、電源電壓、內部噪聲、電磁干擾 等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。 ⑸ 人身誤差 由于測量者的分辨能力、疲勞程度、責任心等主觀因素，使測 量數(shù)據(jù)不準確所引起的誤差。 研究誤差理論的目的 是分析產(chǎn)生誤差的原因和規(guī)律，識別誤差 的性質，正確處理測量數(shù)據(jù)，合理計算所得結果，在一定測量 條件下，盡力設法減少誤差， 保證測量誤差在容許的范圍內。 誤差的表示方法 相對誤差 絕對誤差 ： 定義：被測量的 測量值 x與其 真值 A0之差，稱為絕對誤差。 在實際測量中： “約定真值” ≈ “實際值” = A 表示 修正值：與絕對誤差大小相等，符號相反的量值稱為修正值， 一般用 C表示 大小 正負 單位 Δx =x－ A0 （ ） Δx=x－ A （ ） C=－ Δx=A－ x （ ） 2 相對誤差： 例： 用二只電壓表 V1和 V2分別測量兩個電壓值。 V1 表測量 150伏，絕對誤差 Δx1=， V2 表測量 10伏， 絕對誤差 Δx2= 從絕對誤差來比較 Δx1 ＞ Δx2 誰準確？ x? 111Δ 177。 = 100% = 10% = 177。 1%U 150x? 222Δ 177。 = 10 0% = 10 0% = 177。 5%U 10用 相對誤差 便于比較 表示相對誤差 ?相對誤差可以有多種形式： x?0Δ= 100%Ax? Δ= 100%Axx? xΔ= 100%xx? m mΔ= 100% = S %真值相對誤差 實際值相對誤差 測量值（示值）相對誤差 滿度（或引用）相對誤差 常用 因通常 A0、 A、 X ΔX 故常用 X方便 測量值相對誤差 γx與滿度相對誤差 S%的關系： x x xx x xx x x x x x? m m mxmmΔ Δ Δ= 10 0% = 10 0% = 10 0% = 177。 S%xx? mx =177。 S % ↓↑測量值 x靠近滿量程值 xm相對誤差小 電工儀表將滿度相對誤差分為七個等級： 等級 177。 S% % % % % % % % 例：檢定量程為 1000μA的 ，在 500μA刻度上標 準表讀數(shù)為 499μA，問此電流表是否合格？ 解： x0=499μA x=500μA xm=1000μA xxx? 0mm 50 0 49 9= 10 0% = 10 0% = 0. 1% 0. 2%1000（ ） 用分貝（ dB）表示相對誤差 相對誤差也可用對數(shù)形式（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、 電壓的增益（衰減）的測量中。 功率 等電參數(shù)用 dB表示的相對誤差為 dBΔ xγ = 1 0 lg ( 1 + ) d Bx（ ） 電壓、電流 等參數(shù)用 dB表示的相對誤差為 dBΔ xγ = 2 0 lg ( 1 + )xx= 2 0 lg ( 1 + γ ) dB 誤差按性質分類 隨機誤差 系統(tǒng)誤差 粗大誤差 隨機誤差 不可預定方式變化的誤差（同 隨機變量 ） 系統(tǒng)誤差 按一定規(guī)律變化的誤差 粗大誤差 顯著偏離實際值的誤差 下面分別介紹比較嚴格的定義 系統(tǒng)誤差定義為：“ 在重復性條件下 (即測量條件不變 )，對同一被測量無限多次測量所得的結果的平均值與被測量的真值之差 。”用 ε表示系統(tǒng)誤差，即 x?1. 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差的特點：只要測量條件不變，誤差即為確定值，用多次測量求平均值的方法不能改變或消除系統(tǒng)誤差。 0Ax ?? ??（ ） 1211()nniix x xx x nnn? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? （ ） 隨機誤差定義為：“ 測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差 。”用 δ表示隨機誤差，即 2. 隨機誤差 ??? xx ii?隨機誤差定義表示：在重復性條件下，每次測量誤差的絕對值和符號以不可預知的方式變化的誤差，簡稱隨差。 隨機誤差的性質類同于概率論中的隨機變量，故要用概率統(tǒng)計的方法進行處理。 （ ） 3. 粗大誤差 在一定條件下， 測量值顯著偏離其真值（或約定真值）所對應的誤差，稱為粗大誤差 。 粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是 讀數(shù)錯誤 測量方法不對 瞬間干擾 儀器工作不正常等。 對粗大誤差的處理通常是 按一定的法則進行剔除 由（ ）式誤差的定義： ? ? ? ?000iiiix x Ax x x Ax x x A??????? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 式（ ）表示誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差相加的關系。圖 。 （ ） 4. 三種誤差的關系 先要剔除粗大誤差，只剩下系統(tǒng)誤差和隨差。 系統(tǒng)誤差真值測量值的概率分布曲線概率密度誤差某次測量值隨機誤差測量值置信區(qū)間?x ix0Aksx ? ksx ??i?xP總體均值?x不確定度U U定量的概念： 盡量不要用具體數(shù)量來說準確度。例如：準確度 10 mV 只能用某一等級或范圍來描述，例如：某電流表為 1級表（準確度 1%） 測量準確度 測量結果與被測量的真值的一致程度。 但由于真值難以獲得，故準確度是一個定性概念。 測量正確度 無窮重復測量的平均值與參考值之間的一致性。 測量的正確度反過來說明測得量中系統(tǒng)誤差大小的程度。 測量精密度 在規(guī)定條件下，對同一被測對象重復測量所得測得值間的一致程度。 測量的精密度用來定量表示測量結果中隨機誤差大小的程度。 系統(tǒng)誤差 ε 小，準確度高 A 或 A Xi Xi 隨機誤差 δ 小 ，精密度高 A A 或 Xi 系統(tǒng)誤差和隨機誤差都較小，稱精確度高 A 或 Xi Xi 定性的概念： 測量的 重復性 在相同的測量條件下，對同一測量進行連續(xù)多次測量結果之間的一致性，用 “ r” 表示。 也稱 等精度測量 同一個人、同一臺儀器、同一地點、同一方法，在短時間內進行重復測量。 例： 用數(shù)字電壓表測量電壓 16次。 測量的 復現(xiàn)性 在改變了的測量條件下，同一被測量的測量結果之間的一致性。 也稱 再現(xiàn)性 換了個人，換了臺儀器，在另外的時間地點進行測量，其結果不能超出的范圍， “ R” 表示。 例： 不同人用不同的電壓表測量市電，都是 220v左右。 隨機誤差 定義與性質 隨機誤差 定義 ： ： “ 測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差 。 ” 隨機誤差概念 不可預定方式變化的誤差（同隨機變量） ??? xx ii?舉例： 對一電阻進行 n=100次重復性測量 表 按大小排列的 重復性 測量結果 測量值 xi（ Ω） 相同測值出現(xiàn)次數(shù) mi 相同測值 出現(xiàn)的概率 Pi=mi/n 2 4 6 14 18 22 16 10 5 2 1 ?xP(x) μ x 0 隨機誤差性質：服從 正態(tài)分布 ，具有以下 4個特性 ： 對稱性 —— 絕對值相等的正誤差與負 誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性 —— 絕對值小的誤差比絕對值 大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性 —— 絕對值很大的誤差出現(xiàn)的 機會極少，不會超出一定的界限； 抵償性 —— 當測量次數(shù)趨于無窮大， 隨機誤差的平均值將趨于零。 ?x 隨機誤差的統(tǒng)計處理 隨機誤差與隨機變量的類同關系 設 x1， x2， … ， xi， … 為離散型隨機變量 X的可能取值，相應 概率為 p1， p2， … ， pi， … 其級數(shù)和為 若 絕對收斂，則稱其和數(shù)為數(shù)學期望，記為 E(X) ii px?iii pxXE ????1)( 1??iipx1p1+x2p2+…+ xipi+…= iii px???1在統(tǒng)計學中， 期望與均值是同一概念 1211 nniix x xxxnn ?? ? ?????? ??? ?（ ） 算術平均值 與被測量的真值最為接近，由概率論的大數(shù)定律 可知，若測量次數(shù)無限增加，則算術平均值 x必然趨于 實際值 。 、標準差 方差是用來描述隨機變量可能值對期望的分散的特征值。 隨機變量 X的方差為 X與其期望 E（ X）之差的平方的期望， 記為 D（ X），即 2D ( ) = E { [ E ( X ) ] }XX例：兩批電池的測量數(shù)據(jù) 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 n X 0 X xi 〃 〃 〃 〃 n X 0 X xi 〃 〃 〃 〃 〃 〃