【正文】 〃 誤差離散性小 誤差離散性大 測(cè)量中的隨機(jī)誤差也用方差 )(2 x? 來(lái)定量表征： n22ii = 11σ ( x ) = ( x x )n ?式中 i( )xx是某項(xiàng)測(cè)值與均值之差，稱為 剩余誤差 或 殘差 ， 記作 ii= ( )v x x。將剩余誤差平方后求和平均，擴(kuò)大了 離散性，故用方差來(lái)表征隨機(jī)誤差的離散程度。 標(biāo)準(zhǔn)差 方差的量綱是隨機(jī)誤差量綱的平方，使用不方便。為了與隨機(jī) 誤差的量綱統(tǒng)一，常將其開(kāi)平方，用標(biāo)準(zhǔn)差或均方差表示，記 作 ?n2ii = 11σ = ( x x )n（ ） 正態(tài)分布 在概率論和誤差理論的研究中，已充分論證了絕大多數(shù)隨機(jī)誤差 的分布規(guī)律都可以用正態(tài)分布來(lái)描述，正態(tài)分布的概率密度函數(shù) 為正態(tài)分布 221 (x x )p (x )= ex p [ ]2 σ2 π σ當(dāng)知道正態(tài)分布的兩個(gè)基本參數(shù)：算術(shù)平均值 x和標(biāo)準(zhǔn)差 σ，該 正態(tài)分布的曲線形狀則基本確定。 P(x) μ x 0 給出了 x =0時(shí)，三條不同標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布曲線： 1 2 3σ σ σ。標(biāo)準(zhǔn)差小，曲線尖銳，說(shuō)明測(cè)量誤差小的數(shù)據(jù) 占優(yōu)勢(shì)大，即測(cè)量精度高。 x Φφ(σ) 0 σ1 σ2 σ3 σ1σ2σ3 本書(shū)附錄 A給出了正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間的積分表。其中 x x xxxδ x E( ) Z = = =σ () σ () σak=σ（ ） 式中 k為臵信因子， a為所設(shè)的區(qū)間寬度的一半。 K=1時(shí)， K=2時(shí)， K=3時(shí)， 2??P ( x σ ) 0 . 9 5 4 53??P ( x σ ) 0 . 9 9 7 3??P ( x σ ) 0 . 6 8 2 7圖 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率 有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 上述正態(tài)分布是（ n→∞ ）下求得的，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行 有限次測(cè)量 對(duì)同一量值作一系列等精度獨(dú)立測(cè)量，其測(cè)量列中的全部測(cè)量 值的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近。 設(shè)被測(cè)量的真值為 μ，其等精度測(cè)量值為 x1， x2， … ， xn，則 其算術(shù)平均值為 ?n1 2 n ii = 111x = ( x + x + . . . . . + x ) = xnn（ ） 由于 x的數(shù)學(xué)期望為 μ，故算術(shù)平均值就是真值 μ的無(wú)偏估計(jì)值。 實(shí)際測(cè)量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。 — 貝塞爾公式 上述的標(biāo)準(zhǔn)差是在 n→∞ 的條件下導(dǎo)出的，而實(shí)際測(cè)量只能做到 有限次。當(dāng) n為有限次時(shí)，可以導(dǎo)出這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差為 x x x?n2ii = 11s ( ) = ( )n 1（ ） 這就是貝塞爾公式。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故 )(xs被稱為 標(biāo) 準(zhǔn)差的估值，也稱實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。 在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分 m組 進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù) n次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值， 由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定 分散性。這說(shuō)明有限次測(cè)量的 算術(shù)平均值還存在著誤差 。當(dāng)需 要更精密時(shí)，應(yīng)該用 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 x?來(lái)評(píng)價(jià)。 已知算術(shù)平均值 x為 mii = 11=mxx? n m 1 2 ?? m 1 x11 x21 ?? xm1 2 x12 x22 ?? xm2 . . n x1n x2n ?? xmn 1()sx1x2()sx ()msx2x nxs( )s( ) =mxx在概率論中有“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè) 隨機(jī)變量方差之和”的定理，可進(jìn)行下面推導(dǎo) 2 2 2 2 2 2i i 1 222i = 1 i = 11 1 1(x ) = ( x ) = ( x ) = [ ( x ) + ( x ) + . . . + ( x ) ]mmmm m m? ? ? ? ? ???2 2 2 212( ) ( ) ( ) ( )mx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2211( ) ( ) ( )x m x xmm? ? ???()()xxm?? ?因 故有 所以 當(dāng) n為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則 nxsxs)()( ?（ ） 結(jié)論 ：（ ）式說(shuō)明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意一組 n次 測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的 n分之一。即算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估值 )(xs比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值 )(xs比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值 )(xs小 n 倍， 表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。這是由于隨機(jī)誤 差的抵償性，測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度 越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所 以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差。 意義 ：（ ）式給實(shí)際測(cè)量帶來(lái)了方便，人們只要測(cè)量一組 數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準(zhǔn)差，將其除以 ，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù) n的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 歸納 ： 有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 計(jì)算步驟： (1)列出測(cè)量值的數(shù)據(jù)表 (2)計(jì)算算術(shù)平均值 1211 nniix x xxxnn ?? ? ?????? ??? ?()iiv x x??221111( ) ( )11nniiiis x x xnn???? ? ?????(3)殘差 (4)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 （實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差） ()() sxsxm?(5)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 ()() sxsxn?例 對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了 8次測(cè)量，得測(cè)量值 ix的序列 (見(jiàn)表 ) 。求測(cè)量值的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。 表 例 iv序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 xi (kHz) 1000.34 1000.78 1000.91 1000.76 1000.82 解 : (1)平均值（注意 ,這里采用的運(yùn)算技巧） ?n ii = 11 0 . 0 1x = x = 1 0 0 0 + ( 8 2 + 7 9 + 8 5 + 3 4 + 7 8 + 9 1 + 7 6 + 8 2 ) = 1 0 0 0 . 7 6 k H zn8211 0 . 2 1 5 5( ) 0 . 1 817 inis x vn ?? ? ?? ?(2)用公式 xxv ii ??計(jì)算各測(cè)量值殘差列于表 23中 (3)標(biāo)準(zhǔn)差估值 ( ) ( ) 8sxsxn? ? ?(4) x的標(biāo)準(zhǔn)偏差 因整數(shù)位不變 測(cè)量結(jié)果的臵信度 度 與臵信 區(qū)間 (百分比 ) (范圍 ) 臵信度 （臵信概率）就是用來(lái)描述測(cè)量結(jié)果處于某一 范圍 內(nèi)可 靠程度的量，一般用百分?jǐn)?shù)表示。 臵信區(qū)間 ，即所選擇的這個(gè)范圍，一般用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示， )(xk?如177。 給定 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差177。 )(2 x?范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的可信度是百分之幾？ 條件：必須先知道測(cè)值的分布，才能討論臵信問(wèn)題。 P(x) E(x) x 0 kσ(x) kσ(x) 臵信度 ？ % 區(qū)間 K=1時(shí)， K=2時(shí)， K=3時(shí)， 6 8 2 )( ???xP( 2 ) 0 . 9 5 4 5Px ???( 3 ) 0 . 9 9 7 3Px ???k=3時(shí)，即在以 3倍標(biāo)準(zhǔn)差177。 3σ區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為 %，而在這個(gè)區(qū)間外的概率非常小。 圖 正態(tài)分布下不同區(qū)間出現(xiàn)的概率 % % % 3. t分布下的臵信度 （ n20） 在實(shí)際測(cè)量中，總是進(jìn)行有限次測(cè)量，只能根據(jù)貝塞爾公式求 出標(biāo)準(zhǔn)差的估值 s(x)，但因測(cè)量次數(shù)較少（如 n＜ 20時(shí)，測(cè)值 不服從正態(tài)分布。英國(guó)人 科薩特 （ Gosset，但常以 “ student” 筆名發(fā)表文章）證明了這時(shí)服從 t分布，也稱“學(xué)生”氏分布 。 t分布的圖形如圖 ，圖形類(lèi)似于正態(tài)分布。但 t分布與標(biāo) 準(zhǔn)差 σ無(wú)關(guān)，與測(cè)量次數(shù) n關(guān)系緊密，從圖 ，當(dāng) n＞ 20以后， t分布與正態(tài)分布就很接近了。可以用數(shù)學(xué)證明當(dāng) n→∞ 時(shí)， t分布與正態(tài)分布完全相同 Φp(t) 0 n→∞ n 大 n 小 圖 t 分布 t分布一般用來(lái)解決有限次等精度測(cè)量的臵信度問(wèn)題。 例 對(duì)某電感進(jìn)行 12次等精度測(cè)量，測(cè)得的數(shù)值（單位 mH） 為 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，若要求 在 P=95%的 臵信概率下，該電感測(cè)值應(yīng)在多大臵信區(qū)間內(nèi)？ 解：第一步：求出 L 及 )(Ls電感的算術(shù)平均值 1211 2 0 . 4 9 312 iiL L m H????12211( ) ( ) 0 . 0 2 01 2 1 iis L L L m H?? ? ?? ?( ) 12s L m H??電感的標(biāo)準(zhǔn)差估值 算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差估值 第二步： 查附錄 B： t分布表，由 n－ 1=11及 P=，查得 t= k (n1) P .098 1 10 11？ 第三步： 估計(jì)電感 L的臵信區(qū)間 )](),([ LtsLLtsL ?? ，其中 ( ) 2 . 2 0 0 . 0 0 6 0 . 0 1 3t s L m H? ? ?則在 95%的臵信概率下，電感 L的臵信區(qū)間為 [， ]。 4. 非正態(tài)分布 以上分析中都認(rèn)為測(cè)量值和誤差是服從正態(tài)分布（包括 t分布 ). 在測(cè)量實(shí)踐中會(huì)遇到有些情況下，誤差是非正態(tài)分布的。下面 介紹幾種常見(jiàn)的非正態(tài)分布曲線及臵信度問(wèn)題。 1)均勻分布 均勻分布又稱為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的 一種重要分布，如圖 。其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)， 誤差 出現(xiàn)的概率各處相同 。 Φp(x) 0 x 圖 均勻分布 a b 均勻分布的概率密度為 ?????1p( x ) = b a0 a ≤ x ≤ b x a x b??及數(shù)學(xué)期望為 a + bE ( x ) = 2b aσ =12標(biāo)準(zhǔn)差為 （ ） （ ） Φp(x) 0 x 圖 均勻分布 a b 1 ba A x +e 0 e Φp(x) 圖 反正弦分布 632反正弦 均勻 三角 2~3 正態(tài) 包含因子 k 分布 p(x) 0 x 圖 三角分布 e e 1/e 非等精度測(cè)量 前面討論的測(cè)量結(jié)果是基于等精度測(cè)量條件下進(jìn)行的，這是通 常的測(cè)量情況。但有時(shí)候，如在科研或高精度測(cè)量中，往往在 不同的測(cè)量條件下，用不同的儀器，不同的測(cè)量方法，不同的 測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，這種測(cè)量稱為非 （或不）等精度測(cè)量。 對(duì)于非等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差）， 不能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需要采用新的計(jì)算公式。 1.“權(quán)”的概念和確定方法 日常統(tǒng)計(jì)中也用“權(quán)”的概念，如按學(xué)分加權(quán)課程統(tǒng)計(jì)學(xué)生的 各科總平均成績(jī)，以顯示學(xué)分多的課程重要性。例如，三門(mén)學(xué) 分為 2課程的加權(quán)平均成績(jī)?yōu)? 3 8 2 1 8 6 2 7 5 4 8 2 8 0 . 33 1 2 6? ? ? ? ? ????分2. 加權(quán)算術(shù)平均值 若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行 m組非等精度測(cè)量，得到 m組測(cè)量結(jié)果 mxxx , 21 ? m , 21 ?mmmxwxwxwx???????????????????212211，設(shè)相應(yīng)的權(quán)值為 ，則 加權(quán)算術(shù)平均值為 例 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度分別為 （ 3次測(cè)量的）， （ 2次測(cè)量的），（ 5次測(cè)量的），求最后測(cè)量結(jié)果。 解： 按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定