混沌理論及應(yīng)用ppt課件(已修改)
2025-05-16 05:03 本頁面
【正文】 混沌理論及應(yīng)用 龍敏 Email: Tel:13973129143 混沌的概念： 混沌（ chaos） 又稱渾沌，人們通常用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態(tài)，在這個(gè)意義上它與無序的概念是相同的。 一、混沌的基本概念及特征 1．確定性 在混沌系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程的確定性，是指方程 (常微分方程、差分方程、時(shí)滯微分方程 )是非隨機(jī)的，不含任何隨機(jī)項(xiàng)。系統(tǒng)的未來 (或過去 )狀態(tài)只與初始條件及確定的演化規(guī)則有關(guān)，即系統(tǒng)的演化完全是由內(nèi)因決定的，與外在因素?zé)o關(guān)。這是至關(guān)重要的一條限制，所以我們現(xiàn)在講的混沌也叫“確定性混沌”。正因?yàn)榇_定性的系統(tǒng)出現(xiàn)了復(fù)雜行為，也叫內(nèi)隨機(jī)性，人們才興奮起來，才一往傾心地鉆研混沌。當(dāng)然，從長遠(yuǎn)的觀點(diǎn)來看，人們肯定會(huì)研究帶有隨機(jī)項(xiàng)的更復(fù)雜系統(tǒng)的非周期運(yùn)動(dòng)。然而，目前由于公眾對(duì)混沌還有相當(dāng)?shù)恼`解，所以我們嚴(yán)格區(qū)分是否為確定性至關(guān)重要，還不能籠統(tǒng)地從現(xiàn)象的層次把一大堆似是而非的東西都稱為混沌?？傊?，混沌概念的狹義化總比泛化好些?，F(xiàn)在我們考慮的混沌主要是一種時(shí)間演化行為，不直接涉及空間分布變化，所以暫不考慮偏微分方程。 例： Lorenz系統(tǒng) 1 ( 1 )n n nx a x x? ?? Logistic 映射 2．非線性 產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)一定含有非線性因素，有了非線性未必產(chǎn)生混沌，但沒有非線性是肯定產(chǎn)生不了混沌的。也就是說，非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件。從功能上看，非線性是通過線性來定義的，設(shè) G1和 G2是任意兩個(gè) (向量 )函數(shù)， a和 b是任意兩個(gè)常數(shù)，若算子乙滿足如下疊加原理 : L(aGl+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)， 則稱 L是線性算子，否則 L是非線性算子。包含非線性算子的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。應(yīng)當(dāng)注意的是線性與非線性也不是絕對(duì)分明的。對(duì)于某些復(fù)雜現(xiàn)象，在一定條件下，既可以把它視為非線性現(xiàn)象也可以把它視為線性現(xiàn)象，這與人們看問題的角度和所關(guān)心的變量的時(shí)空尺度不同有關(guān)。現(xiàn)在看來，非線性是普遍存在的，多數(shù)問題不能通過線性的辦法或線性化的辦法來解決，因而直接面對(duì)非線性是不可避免的。 3．對(duì)初始條件的敏感依賴性 1963年，洛倫茲發(fā)表了關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究，并提出了形象的“蝴蝶效應(yīng)”。被冷落了 12年之后， 1975年數(shù)學(xué)家呂埃爾和塔肯斯建議了一種湍流發(fā)生機(jī)制，認(rèn)為向湍流的轉(zhuǎn)變是由少數(shù)自由度決定的，經(jīng)過兩三次突變，運(yùn)動(dòng)就到了維數(shù)不高的“奇怪吸引子”上。這里所謂“吸引子”是指運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過長時(shí)間之后所采取的終極形態(tài)：它可能是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，或周期性的軌道；但也可能是繼續(xù)不斷變化、沒有明顯規(guī)則或次序的許多回轉(zhuǎn)曲線，這時(shí)它就稱為“奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的運(yùn)動(dòng)軌道，對(duì)軌道初始位置的細(xì)小變化極其敏感，但吸引子的大輪廓卻是相當(dāng)穩(wěn)定的。 ? 真實(shí)球 虛擬球 今天 ， “ 蝴蝶效應(yīng) ” 幾乎成了混沌現(xiàn)象的代名詞 。 1961年美國氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī) ， 根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算 ， 探討準(zhǔn)確進(jìn)行長期天氣預(yù)報(bào)的可能性 。 有一次 ， 洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果 ， 決定再算一遍 。 但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算 ， 而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù) 。 他發(fā)現(xiàn) ， 經(jīng)過一段重復(fù)過程后 ， 計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果 ， 甚至大相徑庭 。 就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬里 ， 另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴 ！ 后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時(shí)將原來的 。 洛倫茲意識(shí)到 ， 因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的 ， 非線性方程不同于線性方程 ，線性方程對(duì)初值的依賴不敏感 ， 而非線性方程對(duì)初值的依賴極其敏感 。 正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離 。
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1