【正文】 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立 (一 ) 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)矢量的線性變換 (坐標(biāo)變換 ) 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立 (二 ) 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量， 當(dāng)其在 t=t0時刻的值已知時，則在給定 t≥t 0時刻的輸入作用下，便能完全確 定系統(tǒng)在任何 t≥t 0時刻的行為。 狀態(tài)矢量 如果 個狀態(tài)變量用 表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量 的分量，則 就稱為狀態(tài)矢量，記作： 狀態(tài)方程 以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。 狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 用圖下所示的 網(wǎng)絡(luò)，說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。 圖一 根據(jù)電學(xué)原理，容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組： 亦即 （ 1） 式 (1)就是圖 ，式中若將狀態(tài)變量用一般符號 ，表示，即令 并寫成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋? 或 輸出方程 在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系 統(tǒng)的輸出方程。如在圖 ，指定 作為輸出，輸出一般用 y表 示，則有： 式中 (2) 狀態(tài)方程和輸出方程合并起來，就是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。 或 （ 3） 式中 或 （ 4） 狀態(tài)空間表達式 在經(jīng)典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的 動態(tài)過程。如上圖一所示的系統(tǒng)，在以 作輸出時，從式 (1)消去中間變量 i，得到二階微分方程為： 其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： （ 6） （ 5） 回到式（ 5）或式（ 6）的二階系統(tǒng)，若改選 和 作為兩個狀態(tài)變量， 即令 則得一階微分方程組為： 說明：針對一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不唯一。 Such as （ 8） 設(shè)單輸入 單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程的一般形式為： 輸出方程式則有如下形式： 用矢量矩陣表示時的狀態(tài)空間表達式則為： 因而多輸入 多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的矢量矩陣形式為： 式中， x和 A為同單輸入系統(tǒng)，分別為 n維狀態(tài)矢量和 n n系統(tǒng)矩陣； 為 r維輸入 (或控制 )矢量； 為 m維輸出矢量； （ 9） （ 10） 為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接 傳遞，即令 D = 0 。 狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)框圖 和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關(guān)系。對于式 (9)和式 (10)所描述的系統(tǒng)，它們的框圖分別如圖 a和 b所示。 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)空間表達式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變 量數(shù)，將它們畫在適當(dāng)?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量， 然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用 箭頭將這些元件連接起來。 對于一階標(biāo)量微分方程： 它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖 再以三階微分方程為例： 將最高階導(dǎo)數(shù)留在等式左邊，上式可改寫成 它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖 同樣，已知狀態(tài)空間表達式，也可畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，下圖是下列 三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。 下圖是下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立 (一 ) 這個表達式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)框圖來建立，即根據(jù) 系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空問表達式；二是從系統(tǒng)的物理 或化學(xué)的機理出發(fā)進行推導(dǎo)；三是由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳 遞函數(shù)予以演化而得。 從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 該法是首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，變換成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個積 分器的輸出選作一個狀態(tài)變量 其輸入便是相應(yīng)的 然后，由模擬圖 直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。 方塊結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)空間表達式 111?sTKsTK22u y － ＋ 例：系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。試求其狀態(tài)空間表達式。 例： 解： 慣性環(huán)節(jié) ： 111?sTK→ → 11TKs111T 111?sTKsTK22u y － ＋ 例： 解： 比例積分環(huán)節(jié) ： 22TKs1→ → sTK22 111?sTKsTK22u y － ＋ 例 ： 解 ： 綜合慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)模擬結(jié)構(gòu)圖得 ： 111?sTKsTK22u y － ＋ 11TKs111T22TKs1u y 解： 選積分器的輸出為狀態(tài)變量得： 11TK s111T22TK s1u y 2x 1x?1x?2x狀態(tài)方程： uTKxTxTKxxTKx1121111222211???????輸出方程： 1xy ?狀態(tài)空間表達式 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 一般常見的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機械、機電、氣動 液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守 恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當(dāng)指定系統(tǒng)的輸出時，很容易寫出系 統(tǒng)的輸出方程。 例 .試求用電樞電壓控制的他激電動機的狀 態(tài)空間表達式 (輸