自動(dòng)控制原理簡(jiǎn)明版第4章根軌跡法(已修改)
2025-05-12 08:26 本頁(yè)面
【正文】 1 根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn) 分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的 必要條件 ： 式中 0)]()([ 11 ?ds sHsGd)()()()()()( 111111 sHsGKpszsKsHsG njjmii??????????????????? njjmiipszssHsG1111)()()()(分 離 點(diǎn)1K ??1K ?? 01 ?K01 ?K1K ??1會(huì) 合 點(diǎn) 01 ?K01 ?K2 設(shè) 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )())(()()(121 mmii zszszszssP ?????? ????)())(()()(121 nnjj pspspspssQ ?????? ????0)( )(1)()(1)()(1 1111 ?????? sQ sPKsHsGKsHsG0)()(1 ?? sQsPK)()()()()()()()( 11111sQsPKsHsGKpszsKsHsG njjmii?????????3 根軌跡在 s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡上 的分離點(diǎn) (或會(huì)合點(diǎn) ) 與特征方程式的重根相對(duì)應(yīng)。若為二重 根，必同時(shí)滿足 和 。因此求得： 消去 ，可得到： 便于忘記，上式又可寫成： 或 以上分析沒有考慮 (且為實(shí)數(shù) )的約束條件 ， 所以只有滿 足 的這些解 ， 才是真正的分離點(diǎn) （ 或會(huì)合點(diǎn) ） 。 0)( 1 ?sf 0)( 1 ?? sf?????????0)()(0)()(11sQsPKsQsPK1K 0)()()()( ???? sQsPsQsP0)]()([ 11 ?ds sHsGd 0)]()([ ?ds sHsGd01?K01?K4 例 : 設(shè)系統(tǒng) 試求該系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn) 。 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： 求得： 代入特征方程 1+G(s)H(s)=0檢驗(yàn)： s1代入，求得： K＜ 0， 故 s1舍去； s2代入，求得 K＞ 0 。所以 s2會(huì)合點(diǎn)。 ()Rs ()Cs?? 12 ( 2 )22Ksss ???22)2()()(21 ?? ?? ss sKsHsG0)22( 2422 2)]()([ 22 2211 ??? ????????? ?? ?? ss ssss sdsdsHsGdsd4 1 8 21 ???? ss (舍去 ) 5 檢驗(yàn) K1只要得到的符號(hào)即可 ,不必出具體的數(shù)值。 一般來(lái)說(shuō) :如果根軌跡位于實(shí)軸上兩相鄰的開環(huán)極點(diǎn) (零點(diǎn) ) 之間；則個(gè)分離點(diǎn) (會(huì)合點(diǎn) ) 。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個(gè)開 環(huán)極點(diǎn)與一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)之間，則或者既不存在分離點(diǎn)，也不 存在會(huì)合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)，又存在會(huì)合點(diǎn)。 ReIm0[]sjj?1?2? 1 0K ?1 0K ?3 . 4 1 4? 1K?1K?6 ReIm01 0K ?1 0K ?1 0K ?1 0K ?1K?1K?1K?1K?分 離 點(diǎn)分 離 點(diǎn)Re10K ?1 0K ?1 0K ? 1 0K ?1K?1K?1K? Im0 四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn) 7 另外兩種表達(dá)形式 ： (1) 因?yàn)? 令 , 即得到 )()(1 sPsQK ??)(2)()()()(1sPsPsQsPsQdsdK ?????01 ?dsdK0)()(1 ?? sQsPK0)()()()( ???? sQsPsQsP01 ?dsdK 0)()()()( ???? sQsPsQsP8 仍以上例說(shuō)明 : 因?yàn)? 令 求得 0)22()2()()(1 21 ??????? s
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