【正文】 第 4章 線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 ?控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)過(guò)程的品質(zhì)及穩(wěn)態(tài)性能直接表征了系統(tǒng)的優(yōu)劣 。 ?系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)可定性或定量分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 ?可以直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析校正，具有直觀，準(zhǔn)確的特點(diǎn)。 ?可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。 ?一般是先求取控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和測(cè)試輸入信號(hào)的拉普拉斯變換，借助拉普拉斯反變換獲得系統(tǒng)輸出的時(shí)域響應(yīng)，然后對(duì)所獲得的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行時(shí)域分析。 167。 引言 167。 測(cè)試系統(tǒng)的輸入信號(hào)與性能指標(biāo) 一．對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求 系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求； 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求。 二．控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 動(dòng)態(tài)響應(yīng)： 描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo) 1. 動(dòng)態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。 表現(xiàn)形式： 衰減、發(fā)散或等幅振蕩。 動(dòng)態(tài)響應(yīng)除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度及阻尼情況等運(yùn)動(dòng)信息。 衡量標(biāo)準(zhǔn) ：穩(wěn)態(tài)精度。 2. 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 指系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間 t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式（輸出狀態(tài)）。 表現(xiàn)形式： 穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。 三、 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 1. 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 用穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)的輸出量的期望值與實(shí)際值之間的差值來(lái)衡量 — 穩(wěn)態(tài)誤差。 表現(xiàn)形式： 穩(wěn)態(tài)誤差。 誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。 2. 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 1）延遲時(shí)間 td 指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值c(∞) 的一半所需的時(shí)間。 2）上升時(shí)間 tr 指響應(yīng)曲線首次從穩(wěn)態(tài)值 c(∞)的10%過(guò)渡到 90%所需的時(shí)間。 3）峰值時(shí)間 tp 指響應(yīng)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。 4）調(diào)節(jié)時(shí)間 ts 指響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在穩(wěn)態(tài)值 177。 5％（或 177。 2％）內(nèi)所需的時(shí)間。 5）超調(diào)量 σ% 指響應(yīng)的最大值 c(tp)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值 c(∞) 的百分?jǐn)?shù)，即 %1 0 0)( )()(% ?? ??? c ctc p?6）振蕩次數(shù) N 指在調(diào)節(jié)時(shí)間 ts內(nèi)， c(t)偏離 c(∞)振蕩的次數(shù)，即 。 TtN s?c ( t )t st rat誤 差 范 圍 177。 0 . 0 5 c ( ∞ ) 或 177。 0 . 0 2 c ( ∞ )t dt pc （ ∞ ）0 . 1 c ( ∞ )0 . 5 c ( ∞ )c ( tp)00 . 9 c ( ∞ ) 常用測(cè)試輸入信號(hào)（典型輸入信號(hào)） 典型輸入信號(hào)： 指根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號(hào)形式，在數(shù)學(xué)描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)。 典型輸入信號(hào)應(yīng)具備的條件： （ 1）數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，便于數(shù)學(xué)上的分析和處理； （ 2）易于在實(shí)驗(yàn)室中獲得。 0 t00 t)( ??????Atrr(t) A r(t) Bt 21)( 0 t00 tB)( ssRttr???????二、斜坡函數(shù) A=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記為 l(t) 。 R(s)=1/s。 B=1時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)。 一、階躍函數(shù) r(t) 0 321)( 0 t00 t21)( ssRCttr?????????三、拋物線函數(shù) C=1時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)。 t t t 0 0 ,0 t 0 t0 Rlim )( 0????????? ??????ttr1R ( s ) 0 t00 t( t ) 1 ??????????R0 sAR ( s ) )tA s in (r ( t ) 22?????????r(t) 四、脈沖函數(shù) 五、正弦函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，則稱為單位脈沖函數(shù)。 ε ?Rt r(t) t ? t?)(tr167。 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 11)()s()( )()()( ??????TssRCstrtcdttdcT一階系統(tǒng)： 以一階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。 TtetcTsTssTssRssCsttr?????????????1)( 11111)()()( 1R ( s ) )(1)( 單位階躍響應(yīng) 標(biāo)準(zhǔn)形式 : 傳遞函數(shù) : 11?Ts 一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng) ????????????????????? 4 3 %)(,4 %)(,3 %)( , 1.1TTttcTttcTtetcTts可得調(diào)整時(shí)間時(shí)時(shí)時(shí)系統(tǒng)輸出量的數(shù)值可以用時(shí)間常數(shù)去度量TTeTdttdcTtTtt數(shù)響應(yīng)曲線上確定時(shí)間常可用此方法在單位階躍響應(yīng)曲線的初始斜率為11)( 1.200?????說(shuō)明： Ttetc ??? 1)(1AT斜率 1/T斜率 當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù) ， 系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng) 。 1]11[L)( 11)(11)( 1)]([)( 1 TteTTstcTssRTssCtLsR??????????? ? 單位脈沖響應(yīng) 單位斜坡響應(yīng) 跟蹤誤差為 T。 ,)( t )eT ( 1c ( t )r ( t )e ( t ) TeTtc ( t ) 1111Ts1C ( s ) s1R ( s )t r ( t ) TtTt2222TeTsTsTss?????????????????時(shí)，1/TTTtr ( t)TTtr( t) 11s11Ts1C ( s ) s1R ( s ) 21r ( t ) 3223332??????????TsTsTsTst)1(2121)( 22222 TteTTtteTTTtttc Tt ????????? ?單位拋物線響應(yīng) )()()()( 3322trdtdtrdtdtrdtdtr拋物線斜坡階躍脈沖 ???)1(21)( 22 TteTTtttc?????拋物線Ttetc ??? 1)( 階躍TteTtc ?? 1)(脈沖TtTeTt( t )c ??斜坡)()()()(3322tcdtdtcdtdtcdtdtc 拋物線斜坡階躍脈沖 ???結(jié)果分析 輸入信號(hào)的關(guān)系為： 而時(shí)間響應(yīng)間的關(guān)系為： 一階系統(tǒng)的性能指標(biāo) 調(diào)整時(shí)間 ts 經(jīng)過(guò)時(shí)間 3T～ 4T，響應(yīng)曲線已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的 95%～ 98%，可以認(rèn)為其調(diào)整過(guò)程已完成，故一般取 ts=(3～ 4)T。 穩(wěn)態(tài)誤差 ess 系統(tǒng)的實(shí)際輸出 c(t)在時(shí)間 t趨于無(wú)窮大時(shí)，接近于輸入值，即 超調(diào)量 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為非周期響應(yīng) ， 故系統(tǒng)無(wú)振蕩 、 無(wú)超調(diào) ， 。 ?0)]()([lim ??? ?? trtce tss0??167。 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式 典型的二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 31(a)所示 , 它是由一個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 21221)()(KKsTsKKsRsC???令 ω2n=K1K2/T, 1/T=2ζωn, 則可將二階系統(tǒng)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式 : 2222)()(nnnsssRsC???????(1) (2) 圖 31 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 )( a )11?sKTR ( s)C ( s)sK2+( b )2222nnnss ?? ????R ( s )C ( s對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)微分方程為 )()()(2)( 22 trtctctc nnn ???? ??? ???式中 , ζ稱為阻尼比 , ωn稱為無(wú)阻尼自振角頻率 。 與式 (3)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 31(b)所示 。 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 , 可以用 ζ和 ωn這兩個(gè)參量的形式加以描述 。 這兩個(gè)參數(shù)是二階系統(tǒng)的重要結(jié)構(gòu)參數(shù) 。 由式 (2)可得二階系統(tǒng)的特征方程為 02 22 ??? nn ss ???所以 , 系統(tǒng)的兩個(gè)特征根 (極點(diǎn) )為 122,1 ???? ???? nns隨著阻尼比 ζ的不同 , 二階系統(tǒng)特征根 (極點(diǎn) )也不相同。 (3) 閉環(huán)極點(diǎn)的分布 二階系統(tǒng)的特征方程為 兩根為 的取值不同 ,特征根不同。 ? 1s 21 , 2 ???? ???? nn02 22 ??? nn ss ?????其中 阻尼比、阻尼系數(shù) ?n? 無(wú)阻尼振蕩頻率、自然振蕩頻率 1. 欠阻尼 (0＜ ζ＜ 1) 當(dāng) 0＜ ζ＜ 1時(shí) , 兩特征根為 dnn jjs ?????? ??????? 22,1 1 這是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根。 如圖 (a)所示。 n??? ?其中 — 衰減系數(shù) 21 ??? ?? nd其中 — 阻尼振蕩頻率 2. 臨界阻尼 (ζ=1) 當(dāng) ζ=1時(shí) , 特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根 , s1,2=ωn 此時(shí) , s1, s2如圖 (b)所示。 3. 過(guò)阻尼 (ζ＞ 1) 當(dāng) ζ＞ 1時(shí) , 兩特征根為 122,1 ???? ???? nns這是兩個(gè)不同的實(shí)根 , 如圖 (c)所示。 4. 無(wú)阻尼 (ζ=0) 當(dāng) ζ=0時(shí) , 特征方程具有一對(duì)共軛純虛數(shù)根 , 即 njs ???2,1此時(shí) , s1, s2如圖 (d)所示。 )(11)(1 ))((21 12C ( s ) 10 ( 1) 2222222n22ndnndnndndnnnssssjsjssssss???????????????????????????????????????????????? 時(shí) 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 2222211a r c t g c os 1s i n )s i n (1e1s i ne1c ose1c ( t )?????