【正文】 第 4章 線性控制系統(tǒng)的時域分析 ?控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的動態(tài)過程的品質及穩(wěn)態(tài)性能直接表征了系統(tǒng)的優(yōu)劣 。 ?系統(tǒng)的時域響應可定性或定量分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。 ?可以直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析校正，具有直觀，準確的特點。 ?可以提供系統(tǒng)時間響應的全部信息。 ?一般是先求取控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數和測試輸入信號的拉普拉斯變換，借助拉普拉斯反變換獲得系統(tǒng)輸出的時域響應，然后對所獲得的響應結果進行時域分析。 167。 引言 167。 測試系統(tǒng)的輸入信號與性能指標 一．對控制系統(tǒng)性能的要求 系統(tǒng)應是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)在暫態(tài)過程中應滿足暫態(tài)品質的要求； 系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，應滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差要求。 二．控制系統(tǒng)的時域響應 動態(tài)響應： 描述系統(tǒng)的動態(tài)性能。 穩(wěn)態(tài)響應： 反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。 控制系統(tǒng)的性能指標 1. 動態(tài)響應 指系統(tǒng)在典型信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。 表現(xiàn)形式： 衰減、發(fā)散或等幅振蕩。 動態(tài)響應除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應速度及阻尼情況等運動信息。 衡量標準 ：穩(wěn)態(tài)精度。 2. 穩(wěn)態(tài)響應 指系統(tǒng)在典型信號作用下，當時間 t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式（輸出狀態(tài)）。 表現(xiàn)形式： 穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)響應除表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息。 三、 控制系統(tǒng)的性能指標 穩(wěn)態(tài)性能指標、動態(tài)性能指標。 1. 穩(wěn)態(tài)性能指標 用穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)的輸出量的期望值與實際值之間的差值來衡量 — 穩(wěn)態(tài)誤差。 表現(xiàn)形式： 穩(wěn)態(tài)誤差。 誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。 2. 動態(tài)性能指標 1）延遲時間 td 指響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值c(∞) 的一半所需的時間。 2）上升時間 tr 指響應曲線首次從穩(wěn)態(tài)值 c(∞)的10%過渡到 90%所需的時間。 3）峰值時間 tp 指響應超過其穩(wěn)態(tài)值到達第一個峰值所需的時間。 4）調節(jié)時間 ts 指響應曲線到達并保持在穩(wěn)態(tài)值 177。 5％（或 177。 2％）內所需的時間。 5）超調量 σ% 指響應的最大值 c(tp)超過穩(wěn)態(tài)值 c(∞) 的百分數，即 %1 0 0)( )()(% ?? ??? c ctc p?6）振蕩次數 N 指在調節(jié)時間 ts內， c(t)偏離 c(∞)振蕩的次數，即 。 TtN s?c ( t )t st rat誤 差 范 圍 177。 0 . 0 5 c ( ∞ ) 或 177。 0 . 0 2 c ( ∞ )t dt pc （ ∞ ）0 . 1 c ( ∞ )0 . 5 c ( ∞ )c ( tp)00 . 9 c ( ∞ ) 常用測試輸入信號（典型輸入信號） 典型輸入信號： 指根據系統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數學描述上加以理想化的一些基本輸入函數。 典型輸入信號應具備的條件： （ 1）數學表達式簡單，便于數學上的分析和處理； （ 2）易于在實驗室中獲得。 0 t00 t)( ??????Atrr(t) A r(t) Bt 21)( 0 t00 tB)( ssRttr???????二、斜坡函數 A=1時，稱為單位階躍函數，記為 l(t) 。 R(s)=1/s。 B=1時，稱為單位斜坡函數。 一、階躍函數 r(t) 0 321)( 0 t00 t21)( ssRCttr?????????三、拋物線函數 C=1時，稱為單位拋物線函數。 t t t 0 0 ,0 t 0 t0 Rlim )( 0????????? ??????ttr1R ( s ) 0 t00 t( t ) 1 ??????????R0 sAR ( s ) )tA s in (r ( t ) 22?????????r(t) 四、脈沖函數 五、正弦函數 當 時，則稱為單位脈沖函數。 ε ?Rt r(t) t ? t?)(tr167。 一階系統(tǒng)的時域分析 11)()s()( )()()( ??????TssRCstrtcdttdcT一階系統(tǒng)： 以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。 TtetcTsTssTssRssCsttr?????????????1)( 11111)()()( 1R ( s ) )(1)( 單位階躍響應 標準形式 : 傳遞函數 : 11?Ts 一階系統(tǒng)的輸出響應 ????????????????????? 4 3 %)(,4 %)(,3 %)( , 1.1TTttcTttcTtetcTts可得調整時間時時時系統(tǒng)輸出量的數值可以用時間常數去度量TTeTdttdcTtTtt數響應曲線上確定時間?？捎么朔椒ㄔ趩挝浑A躍響應曲線的初始斜率為11)( 1.200?????說明： Ttetc ??? 1)(1AT斜率 1/T斜率 當輸入信號為理想單位脈沖函數 ， 系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應 。 1]11[L)( 11)(11)( 1)]([)( 1 TteTTstcTssRTssCtLsR??????????? ? 單位脈沖響應 單位斜坡響應 跟蹤誤差為 T。 ,)( t )eT ( 1c ( t )r ( t )e ( t ) TeTtc ( t ) 1111Ts1C ( s ) s1R ( s )t r ( t ) TtTt2222TeTsTsTss?????????????????時，1/TTTtr ( t)TTtr( t) 11s11Ts1C ( s ) s1R ( s ) 21r ( t ) 3223332??????????TsTsTsTst)1(2121)( 22222 TteTTtteTTTtttc Tt ????????? ?單位拋物線響應 )()()()( 3322trdtdtrdtdtrdtdtr拋物線斜坡階躍脈沖 ???)1(21)( 22 TteTTtttc?????拋物線Ttetc ??? 1)( 階躍TteTtc ?? 1)(脈沖TtTeTt( t )c ??斜坡)()()()(3322tcdtdtcdtdtcdtdtc 拋物線斜坡階躍脈沖 ???結果分析 輸入信號的關系為： 而時間響應間的關系為： 一階系統(tǒng)的性能指標 調整時間 ts 經過時間 3T～ 4T，響應曲線已達穩(wěn)態(tài)值的 95%～ 98%，可以認為其調整過程已完成，故一般取 ts=(3～ 4)T。 穩(wěn)態(tài)誤差 ess 系統(tǒng)的實際輸出 c(t)在時間 t趨于無窮大時，接近于輸入值，即 超調量 一階系統(tǒng)的單位階躍響應為非周期響應 ， 故系統(tǒng)無振蕩 、 無超調 ， 。 ?0)]()([lim ??? ?? trtce tss0??167。 二階系統(tǒng)的時域分析 二階系統(tǒng)的標準形式 典型的二階系統(tǒng)的結構圖如圖 31(a)所示 , 它是由一個慣性環(huán)節(jié)和一個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數為 21221)()(KKsTsKKsRsC???令 ω2n=K1K2/T, 1/T=2ζωn, 則可將二階系統(tǒng)化為如下標準形式 : 2222)()(nnnsssRsC???????(1) (2) 圖 31 二階系統(tǒng)結構圖 )( a )11?sKTR ( s)C ( s)sK2+( b )2222nnnss ?? ????R ( s )C ( s對應的系統(tǒng)微分方程為 )()()(2)( 22 trtctctc nnn ???? ??? ???式中 , ζ稱為阻尼比 , ωn稱為無阻尼自振角頻率 。 與式 (3)對應的系統(tǒng)結構圖如圖 31(b)所示 。 二階系統(tǒng)的動態(tài)特性 , 可以用 ζ和 ωn這兩個參量的形式加以描述 。 這兩個參數是二階系統(tǒng)的重要結構參數 。 由式 (2)可得二階系統(tǒng)的特征方程為 02 22 ??? nn ss ???所以 , 系統(tǒng)的兩個特征根 (極點 )為 122,1 ???? ???? nns隨著阻尼比 ζ的不同 , 二階系統(tǒng)特征根 (極點 )也不相同。 (3) 閉環(huán)極點的分布 二階系統(tǒng)的特征方程為 兩根為 的取值不同 ,特征根不同。 ? 1s 21 , 2 ???? ???? nn02 22 ??? nn ss ?????其中 阻尼比、阻尼系數 ?n? 無阻尼振蕩頻率、自然振蕩頻率 1. 欠阻尼 (0＜ ζ＜ 1) 當 0＜ ζ＜ 1時 , 兩特征根為 dnn jjs ?????? ??????? 22,1 1 這是一對共軛復數根。 如圖 (a)所示。 n??? ?其中 — 衰減系數 21 ??? ?? nd其中 — 阻尼振蕩頻率 2. 臨界阻尼 (ζ=1) 當 ζ=1時 , 特征方程有兩個相同的負實根 , s1,2=ωn 此時 , s1, s2如圖 (b)所示。 3. 過阻尼 (ζ＞ 1) 當 ζ＞ 1時 , 兩特征根為 122,1 ???? ???? nns這是兩個不同的實根 , 如圖 (c)所示。 4. 無阻尼 (ζ=0) 當 ζ=0時 , 特征方程具有一對共軛純虛數根 , 即 njs ???2,1此時 , s1, s2如圖 (d)所示。 )(11)(1 ))((21 12C ( s ) 10 ( 1) 2222222n22ndnndnndndnnnssssjsjssssss???????????????????????????????????????????????? 時 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 2222211a r c t g c os 1s i n )s i n (1e1s i ne1c ose1c ( t )?????