等比數(shù)列及前n項和(已修改)
2025-05-12 04:33 本頁面
【正文】 第 3講 等比數(shù)列及其前 n項和 【 2022 年高考會這樣考】 1 ．以等比數(shù)列的定義及等比中項為背景，考查等比數(shù)列的判定． 2 ．考查通項公式、前 n 項和公式以及性質(zhì)的應用． 【復習指導】 本節(jié)復習時，緊扣等比數(shù)列的定義，推導相關的公式與性質(zhì)，通過基本題型的訓練，掌握通性、通法． 基礎梳理 1 ．等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的比等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示． 2 ． 等比數(shù)列的通項公式 設等比數(shù)列 { an} 的首項為 a1，公比為 q ，則它的通項 an＝ . 同一個 公比 a1qn－ 1 2 q 3 ． 等比中項 若 ，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項． 4 ． 等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1) 通項公式的推廣： an＝ am ， ( n ， m ∈ N ＋ ) ． (2) 若 { an} 為等比數(shù)列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N ＋ ) ， 則 . (3) 若 { an} ， { bn}( 項數(shù)相同 ) 是等比數(shù)列，則 { λan}( λ ≠ 0) ，??????????1an，{ a2n} ， { an bn} ，??????????anbn仍是等比數(shù)列． G2＝ ab(ab≠0) qn－ m akal＝ aman ( 4) 公比不為－ 1 的等比數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，則 Sn， S2 n－Sn， S3 n－ S2 n仍成等比數(shù)列，其公比為 5 ． 等比數(shù)列的前 n 項和公式 等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ( q ≠ 0) ，其前 n 項和為 Sn， 當 q ＝ 1 時， Sn＝ na1； 當 q ≠ 1 時， Sn＝a1? 1 － qn?1 － q＝a1－ anq1 － q. qn. 一個推導 利用錯位相減法推導等比數(shù)列的前 n 項和： Sn＝ a1＋ a1q ＋ a1q2＋ ? ＋ a1qn － 1， 同乘 q 得： qSn＝ a1q ＋ a1q2＋ a1q3＋ ? ＋ a1qn， 兩式相減得 (1 － q ) Sn＝ a1－ a1qn， ∴ Sn＝a1? 1 － qn?1 － q( q ≠ 1) ． 兩個防范 ( 1) 由 a n ＋ 1 ＝ qa n ， q ≠ 0 并不能立即斷言 { a n } 為等比數(shù)列，還要驗證 a 1 ≠ 0. ( 2) 在運用等比數(shù)列的前 n 項和公式時，必須注意對 q ＝ 1 與 q ≠ 1分類討論，防止因忽略 q ＝ 1 這一特殊情形導致解題失誤． 三種方法 等比數(shù)列的判斷方法有： ( 1) 定義法：若an ＋ 1an＝ q ( q 為非零常數(shù) ) 或anan － 1＝ q ( q 為非零常數(shù)且n ≥ 2) ，則 { an} 是等比數(shù)列； ( 2) 中項公式法：在數(shù)列 { an} 中， an≠ 0 且 a2n ＋ 1＝ anan ＋ 2( n ∈ N*) ，則數(shù)列 { an} 是等比數(shù)列； ( 3) 通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成 an＝ c qn( c ， q 均是不為0 的常數(shù)， n ∈ N*) ，則 { an} 是等比數(shù)列． 注 前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列． 考向一 等比數(shù)列基本量的計算 【例 1 】 ? ( 201 1 全國 ) 設等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ，已知 a 2 ＝6,6 a 1 ＋ a 3 ＝ 30. 求 a n 和 S n . [ 審題視點 ] 列方程組求首項 a 1 和公差 d . 解 設 { an} 的公比為 q ，由題設得?????
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